今回のコラムでは「３角形の面積の２等分線」を取り上げる．まず，正三角形の面積を２等分する線の問題である．正三角形の１辺の長さを１とする（面積√３／４）．底辺に垂直な線で２等分すると垂線の長さは√３／２＝０．８６６０２５・・・となる．

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【Ｑ１】底辺と平行な線で切って，面積を２等分するにはどこで切ればよいか．

（Ａ１）水平線の長さｘとすると

　　√３／２ｘ^2＝√３／４　　　ｘ＝√２／２

したがって，水平線の長さは√２／２＝０．７０７１０７・・・となり垂線の長さ√３／２よりこの方が短い．

　正三角形の場合に限らず，３角形の中線は面積を２等分する．１辺に平行で他の２辺を（√２−１）：１で内分する線分も３角形の面積の２等分線となる．

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【Ｑ２】正三角形を直線によって面積を２等分するとき，その包絡線はどのような曲線を描くか？

（Ａ２）包絡線の求め方を説明しよう．曲線：ｙ＝ｆ（ｘ，θ）において，パラメータθが動くとき，θとθ＋Δθに対応する２本の隣り合った曲線を考えると，その交点はΔθ→０の極限で包絡線上の点となる．

　ｘを固定するとき，この交点のｙ座標はパラメータθが変わっても変化しないことで特徴づけられるから，

　　∂ｙ／∂θ＝０　→　θ＝ｇ（ｘ）

を求め，元の方程式に代入すると包絡線の方程式

　　ｙ＝ｆ（ｘ，ｇ（ｘ））

が得られる．

　△ＡＢＣにおいて，Ａ（０，√３），Ｂ（−１，０），Ｃ（１，０）とする．

点Ｐがｘ軸上を点Ｂから原点に向かって進むとき，点Ｐは

　　（ｔ，０）　　−１≦ｔ≦０

とパラメトライズされる．

　このとき，正３角形の面積の２等分線のもう一方の端点Ｑ（ｘ0，ｙ0）は辺ＡＣ上にあり，

　　ｙ0＝−√３ｘ0＋√３

　また，直線ＰＱの方程式を

　　ｙ＝ｍ（ｘ−ｔ），ｍ＝ｙ0／（ｘ0−ｔ）

とする．面積の２等分線であることより

　　（１−ｔ）ｙ0＝√３

以上より，この直線の方程式は

　　ｙ＝ｍ（ｘ−ｔ），ｍ＝√３／（ｔ^2−２ｔ）

となる．

　　∂ｙ／∂ｔ＝０　→　ｔ^2−２ｘｔ＋２ｘ＝０

　　ｔ＝ｘ−（ｘ^2−２ｘ）^1/2

　これを，元の方程式に代入すると包絡線の方程式

　　ｙ＝√３（２（ｘ^2−２ｘ）^1/2＋２ｘ−１）／（１−４ｘ）

　　→　−４ｘｙ−２ｘ＋ｙ−１＝２√３（ｘ^2−２ｘ）^1/2

　　→　（４ｘｙ＋２ｘ−ｙ＋１）^2＝１２（ｘ^2−２ｘ）

　こうして４次曲線が得られる．（双曲線と書かれてある本もあったが，２次曲線には退化しない．）正三角形の場合に限らず，三角形を直線によって面積を２等分するとき，その包絡線は小さい三角状の曲線になることがボールにより示されている（1980年）．１：１から比率を変えると弧が分離したような形になり，その領域は比率を変えるにつれて大きくなり，３角形そのものに近づいていく．

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　（Ｑ１）の水平線は最短の２等分直線であるが，２等分曲線にはもっと短いものがある．

【Ｑ３】正三角形を最短長の曲線で２等分せよ．

（Ａ３）正三角形を次々に辺について反転させて１頂点のまわりに６個集めて正六角形を作る（面積３√３／２）．そして，六角形の中心を中心とする円でこの面積を２等分する．円の半径をｘとすると

　　πｘ^2＝３√３／４

　　ｘ＝（３√３／４π）^(1/2)＝０．６４３０３７・・・

したがって，円弧の長さは

　　π／３（３√３／４π）^(1/2)＝０．６７３３８７・・・

となり，このほうが短いことがわかる．

　モーザーはこのようにして最短周長曲線は円弧であることを示した．等分曲線がどのような形であろうと正三角形を次々に辺について反転させて１頂点のまわりに６個集めて正六角形を作れば２等分曲線は閉曲線になるから，円が与えられた面積を囲む最短周長曲線であるというわけである．

　ところで，正三角形ではなく一般の三角形の場合はどうなるのだろうか？

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