フォイエルバッハの９点円の中心はオイラー線の中点で，その半径は外接円の半径の半分となります（ｒ＝Ｒ／２）．したがって，一般に，その半径は内接円の半径より大きくなります．

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［Ｑ］任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとする．外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表せ．

（ヒント）正弦定理

［Ｑ］与えられた三角形が直角三角形のときのＲ，ｒをａ，ｂ，ｃの一次式で表せ．

（ヒント）コラム「ピタゴラス三角形の内接円と傍接円」参照

［Ｑ］Ｒ≧２ｒを証明せよ．等号が成り立つのはどのようなときか．

（ヒント）外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2が成り立っています（オイラーの定理）．

　この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．

　ヘロンの公式とは，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．

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