本年６月，ロシアの数学者ポントリャーギンの生誕１００年を記念してモスクワ大学で幾何学の国際会議が開催されたのですが，秋山仁先生が「正多面体の元素について」という演目で講演された内容を受け売りで紹介します．
紀元前３世紀の頃（ユークリッドの時代），既に５種類の正多面体は知られていたといわれています．今回のコラムでは
（Ｑ）何種類かの凸多面体ピースを使ってすべての正多面体を作ること
という問題を考えてみることにします．
ただし，どのピースも少なく２種類の正多面体を構成するのに利用されるという条件をつけます．それぞれの正多面体は直角三角形面よりなる基本単体に分割できます（正四面体の基本単体数は２４，立方体・正八面体では４８，正１２面体・正２０面体では１２０）．しかし，この付帯条件によりそのような解答はナンセンスになります．また，裏返し（鏡映対称）の多面体は同一視しますが，大きさが異なる相似多面体は別のピースとみなします．まずは，問題解決の着想となった正多面体の巡礼について説明しましょう．
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【１】正多面体の巡礼
(1)正四面体の６個の辺の中点を結ぶと，正四面体の中に正八面体ができる．
（この正八面体の体積はもとの正四面体の１／２である）
(2)正八面体の１２個の辺を黄金比で分割した点を結ぶと，正八面体の中に正２０面体ができる．
(3)正２０面体の２０個の面の重心を結ぶと，正２０面体の中に正１２面体ができる．
(4)正１２面体の８個の頂点を結ぶと，正１２面体の中に正六面体ができる．
(5)正六面体の４個の頂点を結ぶと，正六面体の中に正四面体ができる．
（この正四面体の体積はもとの正六面体の１／３である）
ここから(1)に戻り，正多面体の相互関係が巡回して現れる．一番外側に辺の長さ１の正１２面体をおくと，その内部に辺の長さφの立方体，その中に辺の長さφ√２の正四面体がはいる．この双対は正四面体の中に正八面体，正八面体の中に正二十面体がはいるもので，この関係は外側にも内側にも無限に続くことになる．
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【２】着想の深化
正１２面体は立方体に外接し(4)，正４面体はその立方体に内接する(5)というのが立方体との基本的な相互関係になる．正１２面体は立方体に外接することを「第１包含関係」，正４面体は立方体に内接することを「第２包含関係」と呼ぶことにする．
また，立方体の双対である正八面体との相互関係では，正八面体の１２個の辺を黄金比で分割した点を結び正八面体の各面上に正三角形が作られるようにすると，これらの分割点は正２０面体の１２個の頂点となる(2)という関係が重要である．これを「第３包含関係」と呼ぶことにする．
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［１］第１包含関係
立方体の各面に正方形面を底面とする屋根型５面体をつけたものが正１２面体であるが，正１２面体の二面角を２δとすると屋根型５面体の正方形面と緩斜面との二面角は９０°−δ，急斜面との二面角はδとなる．
次に，切り離された６個の屋根型５面体を立方体の内部に収めるように裏返してみる．このとき，屋根型５面体の中央の稜が互いに直交する東西南北天地方向を向くように配置すると屋根型５面体同士は補角であるから隙間を作らずにぴたりと重なることになる．
立方体の内部には空洞が残るが，この空洞の８隅の細長い隙間は大星形１２面体の外三角錐と同形であり，この空洞は８個のねじれ重三角錐に分割することができる．すなわち，立方体は正１２面体の屋根型５面体とねじれ重角錐から再構成することができることが理解される．
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［２］第２包含関係
立方体の３頂点を通る平面で，底面が正三角形，側面が直角二等辺三角形からなる三角錐を切り離す．このような三角錐は１個の立方体から４個切り離すことができて，残りの立体は正四面体になる．このとき，切り離した三角錐は８個で正八面体となる．
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［３］第３包含関係
この三角錐は正八面体の８等分体であるから，正三角形面の辺を黄金比で分割した点を結んで切り離すと正八面体の中に正２０面体を作ることができる．この方法でもとの三角錐は中央の７面体と３個の三角錐に切り離される．
中央の７面体は正２０面体の８等分体であって，正三角形面１面と正三角形と２等分した直角三角形３面を有する．すなわち正三角形面２．５面分×８で正２０面体を作ることができるというわけである．なお，もとの立方体の１辺の長さを２とすると正三角形面の１辺の長さは２ａ，直角三角形の３辺の長さは２ａ，√３ａ，ａとなる．ここで，ａ＝３−√５．
また，三角錐は正８面体と立方体を作るときに用いられるから，これらの切り分け方はうまい具合に付帯条件を満たしている．
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以上より，５種類のピース（屋根型５面体，ねじれ重三角錐，７面体，三角錐，正四面体）がどれも２種類以上の正多面体の構成に使われている．５種類のピースのうち，回転対称性を有する多面体はさらに切り分けることもできる．なお，立方体には２通りの構成法があるが，それはむしろ歓迎すべきことであろう．
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【３】正多面体の元素数
平面の問題に比べて，立体の問題は簡単な問題であってもかなり面倒になり，頭の中だけで考えても難しい場合が多い．どうしても立体模型が欲しくなるところである．正多面体の元素の感触を掴むにはそれぞれ模型を実際に作ることが肝要である．以下，中川宏さんによる木工模型を紹介する．
その後，元素数を少なく抑えることを考えて，どのピースも少なく２種類の正多面体を構成するのに利用されるという条件を除くことにしたのであるが，これにより，正多面体に属する多面体の元素数は４であることが示された．
［定理１］正多面体の元素数は≦４である．
元素数は４種類が最小と思われるが，それはあくまで感触であってその数学的な証明は得られていない．ともあれ，それらをα，β，γ，δとすると正四面体はα8，正２０面体はβ24，正八面体はβ24γ24，立方体はα8β12γ12，正１２面体はα8β12γ12δ12で構成される．正四面体，正２０面体，正八面体の構成元素数が少ないことは，正四面体と正八面体の２種類を組み合わせた空間充填形の正八面体内に正２０面体が包含されることと関係している．また，αは３種類，βは４種類，γは３種類，δは１種類の多面体を構成するのに使われていて，βの使用頻度が最も高いことになる．
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【４】平行多面体の元素数
平行多面体とは辺が平行（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），面が平行，そして平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体である．平行多面体には立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかない．これら５種類の図形（フェドロフの平行多面体）は３次元格子の幾何学的分類であって，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる．
ところで，中川宏さんは空間充填図形を追い求めてきた．１／２４切頂八面体である「中川の六面体」(c-squadron)９６ピースで菱形十二面体を組み立てることができる．このことについて，秋山仁先生は「中川の六面体は空間充填多面体の原子と考えられる．数でいえば素数のようなもの」と話しておられた．また，中川六面体の２分割体（σ-dron）は立方体，菱形１２面体，切頂八面体に共通する３重の空間充填図形である．
立方体，菱形１２面体，切頂八面体は中川六面体の２分割体に分割することがわかったが，それでは残りの２つ，６角柱，長菱形１２面体はどうなっているのだろうか？ ただし，６角柱，長菱形１２面体の場合は等辺平行多面体であることは要請しないことにする．
（Ｑ）何種類かの凸多面体ピースを使ってすべての平行多面体を作ること．
（Ａ）この問題の部分的な解答はすでに中川宏さんにより与えられていて，工藤三角錐を数種類の仕方で切り分けることによって，
工藤三角錐（２／２４立方体）×２４→菱形１２面体
工藤三角錐の２分割体（１／２４立方体）×２４→立方体
工藤三角錐の４分割体（中川六面体）×２４→切頂八面体
工藤三角錐の２分割体（１／２４立方体）×７２→長菱形１２面体
工藤三角錐の１／６蝶番返し×２×１２→６角柱
となる→コラム「ボロノイ細胞と平行多面体（その１７）」参照．
以上より，工藤三角錐を構成することができる３種類のピース（中川六面体の２分割５面体，工藤三角錐の１／６多面体と５／６多面体）が平行多面体の構成に使われている．また，立方体は工藤三角錐の４分割体（中川六面体）の２分割体から構成することもできるから，この場合も立方体には２通りの構成法がある．
しかし，この部分的な解答に対して，秋山仁先生のアイディアが加えられた．６角柱は直６角柱である必要はなく，斜６角柱であれば工藤三角錐から構成することができる．
すなわち，平行多面体ではたった１種類ですべての平行多面体を充填するような元素が存在し，それが中川六面体の２分割体である．立方体σ96，６角柱σ144，菱形１２面体σ192，長菱形１２面体σ384，切頂８面体σ48
［定理２］平行多面体の元素数は１である．
さらに，中川六面体の２分割体にはもっと面白い性質がある．中川六面体の２分割体１対で中川六面体になるものをα接合，それを立体蝶番返しして台形の面で接合させたものをβ接合，中川六面体の２分割体の１対でなく，同じもの２個を凧形の面で接合させると鼈臑ができるがこれをγ接合と呼ぶことにすると
立方体 菱形１２面体 切頂八面体
α接合 × ○ ○
β接合 ○ × ○
γ接合 ○ ○ ×
を作ることができるのであるが，α，β，γ，δ，ε，・・・中川六面体の２分割体をどのように接合しても空間充填図形となる．また，このとき立方体の体積は切頂八面体の２倍，菱形１２面体の体積は立方体の２倍である．
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【５】まとめ
「ポントリャーギン生誕１００年記念国際会議，モスクワ，2008.6」における秋山仁先生の講演の概要は
元素数
正多面体 ５種類 ≦４
平行多面体 ５種類 １
という定理にまとめられる．
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