ａn+1＝２ａn

という生成則に従う数列は，ベンフォードの法則に従いますが，

　　ａn+1＝２ａn＋１

　　ａn+1＝ａn^2

という生成則に従う数列もベンフォードの法則に従います．

　ところが，

　　ａn+1＝ａn^2＋１

という生成則に従う数列では，初期値によってベンフォードの法則に従わない数列があるそうです．

　たとえば，

　　ａ0＝９．９４９６２３０８９５９３９５９４１２１８３３２１２４１０９３２６・・・

では生成則を何回繰り返しても最初の数は９になるということです．驚きの結果です．このような初期値は無限個存在するのですが，数直線ではあまりにもまだらで，そのcardinalityは０だそうです．

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【１】ａn+1＝ａn^2

　　９≦ａ0＜１０

　　９０≦ａ0^2＜１００

　　９０００≦ａ0^4＜１００００

　　９０００００００≦ａ0^8＜１００００００００

とします．

　　９．４８７＝√９０≦ａ0＜１０

　　９．７４０＝√√９０００≦ａ0＜１０

　　９．８６９＝√√√９００００００≦ａ0＜１０

　最初の数が９になるためには，左辺はいくらでも１０に近づかなければなりません．

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【２】ａn+1＝ａn^2＋１

　　９≦ａ0＜１０

　　９０≦ａ0^2＋１＜１００

　　９０００≦（ａ0^2＋１）^2＋１＜１００００

　　９０００００００≦｛（ａ0^2＋１）^2＋１｝^2＋１＜１０００００００

とします．

　　９．４３４＝√８９≦ａ0＜√９９＝９．９５０

　　√８９９９≦ａ0^2＋１＜√９９９９

　　９．６８８＝√｛√８９９９−１）≦ａ0＜√（√９９９９−１）＝９．９５０

　　√８９９９９９９９−１≦（ａ0^2＋１）^2＜√９９９９９９９９−１

　　√（√８９９９９９９９−１）≦（ａ0^2＋１）＜√（√９９９９９９９９−１）

　　９．８１８＝√（√（√８９９９９９９９−１）−１）≦ａ0＜√（√（√９９９９９９９９−１）−１）＝９．９５０

　最初の数が９になるためには，左辺は９．９５に近づかなければなりません．

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