■142857(その38)

 (その37)の続き.

 k,nをm桁の2個の3倍保型数とする.L,M=0-9に制限.

  K=10^mL+k

  N=10^mM+n

はm+1桁の保型数とする.

 このとき,

  k+n=(2・10^m+1+1)/3  (+10^m+1)

  L+M=6  (+10)

  K+N=10^m(L+M)+k+n=6・10^m+(2・10^m+1+1)/3  (+α)

 このとき

  (6k-1)L/10+(3k^2-k)/10^m+1

が整数であれば

  (6n-1)M/10+(3n^2-n)/10^m+1

も整数であることを示せればよい.

===================================

  (6n-1)M/10+(3n^2-n)/10^m+1

=(4・10^m+1+1-6k)(6-L)/10+(2・10^m+1+1-3k)(2/3・10^m+1-k)/10^m+1

=(6k-1-4・10^m+1)(L-6)/10+(3k-1-2・10^m+1)(k-2/3・10^m+1)/10^m+1

=(6k-1)L/10+(3k^2-k)/10^m+1

+{-6(6k-1)-4・10^m+1(L-6)}/10

+{-4k・10^m+1+2/3・10^m+1+4/3・10^2m+2}/10^m+1

+{-6(6k-1)-40k+20/3}/10

+{-4(L-6)・10^2m+1+4/3・10^2m+2}/10^m+1

={-76k+38/3)}/10-4(L-6)・10^m+4/3・10^m+1

 分数になりそうなところだけ調べると

 (-228k+38+4・10^m+1)/3

の分子は3の倍数になるから,

  (6n-1)M/10+(3n^2-n)/10^m+1

は整数となる.

===================================