(その37)の続き.
k,nをm桁の2個の3倍保型数とする.L,M=0-9に制限.
K=10^mL+k
N=10^mM+n
はm+1桁の保型数とする.
このとき,
k+n=(2・10^m+1+1)/3 (+10^m+1)
L+M=6 (+10)
K+N=10^m(L+M)+k+n=6・10^m+(2・10^m+1+1)/3 (+α)
このとき
(6k-1)L/10+(3k^2-k)/10^m+1
が整数であれば
(6n-1)M/10+(3n^2-n)/10^m+1
も整数であることを示せればよい.
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(6n-1)M/10+(3n^2-n)/10^m+1
=(4・10^m+1+1-6k)(6-L)/10+(2・10^m+1+1-3k)(2/3・10^m+1-k)/10^m+1
=(6k-1-4・10^m+1)(L-6)/10+(3k-1-2・10^m+1)(k-2/3・10^m+1)/10^m+1
=(6k-1)L/10+(3k^2-k)/10^m+1
+{-6(6k-1)-4・10^m+1(L-6)}/10
+{-4k・10^m+1+2/3・10^m+1+4/3・10^2m+2}/10^m+1
+{-6(6k-1)-40k+20/3}/10
+{-4(L-6)・10^2m+1+4/3・10^2m+2}/10^m+1
={-76k+38/3)}/10-4(L-6)・10^m+4/3・10^m+1
分数になりそうなところだけ調べると
(-228k+38+4・10^m+1)/3
の分子は3の倍数になるから,
(6n-1)M/10+(3n^2-n)/10^m+1
は整数となる.
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