しばらくの間，このシリーズを中断していたので，まずはおさらいから始めたい．（その１１）の最後にでてきた２次方程式

　　ｚ＝α（（１＋ｐｚ^2）／（１＋ｑｚ^2））^1/2

を解くと，

　　ｚ＝２√（２／３）＝１．６３２９９

が得られることはすぐにでも確かめられることである．

　この値は２等分点に対応はしているが，２等分点そのものではない．今回のコラムでは（ｋ等分点そのものではないがとりあえず）ｋ等分点に対応する値を求めることにする．

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【１】レムニスケートの場合

　ガウスの円周等分理論「コンパスと定規でｎ等分できるのは，２^2^qi＋１の形をした相異なる素数ｐiにより２^mΠｐiと書かれる場合である」は円関数ばかりでなく他の超越関数，たとえば，

　　u=∫(0,x)f(t)=1/(1-t^4)^(1/2)dt

にも応用できる．

　レムニスケートサインはレムニスケートｒ^2＝ｃｏｓ２θ（あるいはｒ^2＝ｓｉｎ２θ）の弧長を表す積分の逆関数

　　∫(0,x)1/(1-t^4)^(1/2)dt

として定義される．

　　ω/2=∫(0,1)1/(1-t^4)^(1/2)dt

はレムニスケート全体の長さの１／４である．

　ファニャーノはレムニスケートの和公式

　　ｚ＝｛ｘ（１−ｙ^4）^1/2＋ｙ（１−ｘ^4）^1/2｝／（１＋ｘ^2ｙ^2）

を得て，レムニスケートを２，３，５等分する点の座標を求める代数的な計算公式を見いだしていた．

　よほど筆算が好きな計算マニアであっても，この計算は筆算ではもはや不可能である．生産的であるためには，MathematicaやMapleといった数式処理ソフトの利用をお勧めしたい．（その７）では，畏友・阪本ひろむ氏にお願いしてMathematicaで展開してもらったのだが，２，３等分点は求められたもののどうしても５等分点は得られなかった．

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【２】楕円の場合

　レムニスケートの場合，その弧と１対１対応する楕円曲線ｔ^2＝１−ｚ^4，（ｘ，ｙ）→（ｔ，ｚ）の加法公式を用いたが，楕円ｙ^2＝ａｘ^2＋ｂの場合，その弧と１対１対応する楕円曲線

　　ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2）＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4

の加法公式は

　　ｚ＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2＋ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）

となる．

　レムニスケートサインに倣って，楕円サイン関数をｘ＝se[u]，ｙ＝se[v]，ｚ＝se[u+v]とおく．ｋ倍角公式でｚ＝αとおいてｘを求めるとその点がｋ等分点に対応する．

　たとえば，楕円ｘ^2／４＋ｙ^2＝１の場合，

　　ａ＝−１／４，ｂ＝１，ｐ＝ａ／ｂ＝−１／４，

　　ｑ＝（ａ＋ａ^2）／ｂ＝−３／１６，ｍ＝ｐ＋ｑ＝−７／１６，

　　ｎ＝ｐｑ＝３／６４，α＝√（−ｂ／ａ）＝２

ついて具体的に計算してみた．計算は阪本ひろむ氏による．

［１］ｋ＝２

　Mathematicaでは，２等分点

　　se(u/2)=2√(2/3)^1/2=1.63299

は簡単に求まりました．平方根だけを含む式なので幾何学的に作図できることがわかります．

［２］ｋ＝３

　３等分点

　　se(u/3)=1-(1+(2･2^1/3)/3^2/3)^1/2+(2/3(3ｰ6^1/3+5/(1+(2･2^1/3)/3^2/3)^1/2)^1/2=1.25364

　このように３次方程式に帰着する作図問題は＋−×÷√の演算を組み合わせても解けないから，楕円を定規とコンパスだけで３等分することはできないことがわかります．

［３］ｋ＝４

　４等分でなく，２等分を２回繰り返す方法

　　se(2u)=2se(u)(1-7/16se^2(u)+3/64se^4(u))^1/2/(1-3/64se^4(u))=(-1+√2)^1/2

を用いると，作図可能な値

　　se(u/4)=2(1/3(6-3√2-√(6-3√2))^1/2=0.995153

が得られました．

［４］ｋ＝５

　メモリ不足のため，どうしても５等分点は得られませんでした．

［５］ｋ＝６

　６等分でなく，３等分したものを２等分する方法

　　se(2u)=1-(1+(2･2^1/3)/3^2/3)^1/2+(2/3(3ｰ6^1/3+5/(1+(2･2^1/3)/3^2/3)^1/2)^1/2=1.25364

ではMathematicaで計算できて

　　se(u/6)=0.692907

ただし，作図は不可能です．

［６］ｋ＝８

　８等分でなく，４等分したものを２等分する方法

　　se(2u)=2(1/3(6-3√2-√(6-3√2))^1/2=0.995153

を用いれば作図可能な８等分解が得られます．解析解は長くなるので省略しますが，

　　se(u/8)=0.527982

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【３】雑感

　楕円の２等分点を求めるためには変数変換式

　　ｘ^2＝ｆ（ｚ），ｙ^2＝ｇ（ｚ）

が必要になるものと思われるが，楕円を定規とコンパスだけで３等分することはできないことがわかっただけでも収穫としたい．

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