１０桁の自己再現数は２つある．

　　１７８７１０９３７６

　　８２１２８９０６２５

　最後の桁を除き，各桁の和は９になっていることがわかるだろう．

　　１７８７１０９３７６

　＋８２１２８９０６２５

　＝９９９９９９９９９（１１）

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　　（１０ｋ＋５）^2＝１０（１０ｋ^2＋１０ｋ）＋２５

　　（１００ｋ＋２５）^2＝１０^2（１０^2ｋ^2＋５０ｋ）＋６２５

　　（１０００ｋ＋６２５）^2＝１０^3（１０^3ｋ^2＋１２５０ｋ＋３９０）＋０６２５

は

　　（１０ｋ＋５）^2＝１０^2（ｋ^2＋ｋ）＋２５

　　（１００ｋ＋２５）^2＝１０^3（１０ｋ^2＋５ｋ）＋６２５

　　（１０００ｋ＋６２５）^2＝１０^4（１０^2ｋ^2＋１２５ｋ＋３９）＋０６２５

とすべきかもしれない．

　　（１０ｋ＋６）^2＝１０（１０ｋ^2＋１２ｋ−４）＋７６

　　（１００ｋ＋７６）^2＝１０^2（１０^2ｋ^2＋１５２ｋ＋５４）＋３７６

　　（１０００ｋ＋３７６）^2＝１０^3（１０^3ｋ^2＋７５２ｋ＋５）＋９３７６

も同様に

　　（１０ｋ＋６）^2＝１０^2（ｋ^2＋ｋ）＋２０ｋ＋３６

　　（１００ｋ＋７６）^2＝１０^3（１０ｋ^2＋１５ｋ＋５）＋２００ｋ＋７７６

　　（１０００ｋ＋３７６）^2＝１０^4（１０^2ｋ^2＋７５ｋ＋１）＋２０００ｋ＋４３７６

とすべきかもしれない．

　ここで，

　　（１０ｎ＋６）^2＝１０^2（ｎ^2＋ｎ）＋２０ｎ＋３６

　　（１００ｎ＋７６）^2＝１０^3（１０ｎ^2＋１５ｎ＋５）＋２００ｎ＋７７６

　　（１０００ｎ＋３７６）^2＝１０^4（１０^2ｎ^2＋７５ｎ＋１）＋２０００ｎ＋４３７６

としｋ，ｎを０−９に制限してみる．

　　１００００ｋ＋１００００ｎ＝９００００

　　ｎ＝９−ｋ

　　（１０００ｎ＋３７６）^2＝１０^4（１０^2ｎ^2＋７５ｎ＋１）＋２０００ｎ＋４３７６

に代入すると，

　　（１０００ｎ＋３７６）^2＝１０^4（１０^2（８１−１８ｋ＋ｋ^2）＋７５（９−ｋ）＋１）＋２０００（９−ｋ）＋４３７６

＝１０^4（１０^2ｋ^2−１８７５ｋ＋８７７８）−２０００ｋ＋２３７６

　ここで，ｋはわずかの誤差を許すことにして

１０^2ｋ^2−１８７５ｋ＋８７７８＝１０^2ｋ^2＋１２５ｋ＋３９

となるはずである．

　　２０００ｋ＝８７３９

　−２０００ｋ＋２３７６＝−６３６３

どうもうまい形にならない．次回の宿題としたい．

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