「任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる．」

すなわち「ｎ＝□＋□＋□＋□」，その完全平方数は必ずしも異なっているとは限らない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］異なった平方数の和として書けない数が３１個ある．

　　２，３，６，７，８，１１，１２，１５，１８，１９

　　２２，２３，２４，２７，２８，３１，３２，３３

　　４３，４４，４７，４８，６０，６７，７２，７６

　　９２，９６，１０８，１１２，１２８

　その最大数は１２８である．いいかえれば，

　　１２８≠Σｅkｎk^2，ｅk＝０または１

　１２９は

　　１２９＝４^2＋７^2＋８^2

　３乗数以上についても同じことが考えられるが，その結果を私は知らない．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］ｎ＝ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2＋ｄｚ^2

という形をしていて，すべての整数を表すことができる（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）は５４通りある．たとえば（１，１，１，１），（１，２，３，８），（１，２，５，１０）など．

　１５は唯一ｘ^2＋２ｙ^2＋５ｚ^2＋５ｚ^2の形に書けない数である．

　　１５≠ｘ^2＋２ｙ^2＋５ｚ^2＋５ｚ^2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］△＝□，すなわち，三角数かつ平方数である数は

　　１，３６，１２２５，４１６１６，１４１３７３２１，・・・

　自明である１を除けば，３６は最初の平方三角数である．次は１２２５．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝