（Ｑ１）△＝□？，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ１）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

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（Ｑ２）△＋△＝△を満たす整数解はあるか？

（Ａ２）ｘ（ｘ＋１）／２＋ｙ（ｙ＋１）／２＝ｚ（ｚ＋１）／２

両辺を８倍して２を加えると

　　（２ｘ＋１）^2＋（２ｙ＋１）^2＝（２ｚ＋１）^2＋１

ここで，２ｘ＋１＝Ｘ，２ｙ＋１＝Ｙ，２ｚ＋１＝Ｚ，１＝Ｗとおくと

　　Ｘ^2＋Ｙ^2＝Ｚ^2＋Ｗ^2

　すなわち，□＋□＝□＋□？という問題に帰着されますが，□＋□＝□＋□に対しては，

　　（ａｂ−ｃｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2＝（ａ^2＋ｃ^2）（ｂ^2＋ｄ^2）

　　（ａｂ＋ｃｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2＝（ａ^2＋ｃ^2）（ｂ^2＋ｄ^2）

より，恒等式：

（ａｂ−ｃｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2＝（ａｂ＋ｃｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

がよく知られていて，ａｂ−ｃｄ，ａｄ＋ｂｃ，ａｂ＋ｃｄが奇数で，ａｄ−ｂｃ＝１を満たすものをみつける問題に帰着されたことになります．

　ａｄ−ｂｃ＝１なる行列

　　Ｊ＝［ａ，ｂ］

　　　　［ｃ，ｄ］

をｎ乗した行列を

　　Ｊ^n＝［Ａ，Ｂ］

　　　　　［Ｃ，Ｄ］

とすると，常にＡＤ−ＢＣ＝１が成り立ちますから，ａｂ−ｃｄ，ａｄ＋ｂｃ，ａｂ＋ｃｄが奇数となるもの，たとえば，

　　Ｊ＝［３，２］

　　　　［１，１］

からスタートして２乗，３乗，・・・していきます．

　すると，ｍｏｄ２でみて，

　　［１，０］と［１，０］

　　［１，１］　［０，１］

が交互に現れますが，ａｂ−ｃｄ，ａｄ＋ｂｃ，ａｂ＋ｃｄが奇数となるのは

　　［１，０］

　　［１，１］

のみであることがわかります．

　そこで，

　　［１，０］　　　（ｍｏｄ２）

　　［１，１］

となるような任意の行列をひとつ選び，その奇数乗のときだけ採用することにして，

　　２ｘ＋１＝ａｂ−ｃｄ，２ｙ＋１＝ａｄ＋ｂｃ，２ｚ＋１＝ａｂ＋ｃｄ

なるｘ，ｙ，ｚを求めると，△＋△＝△となります．

　たとえば，

　　Ｊ＝［３，２］→（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，２，３）

　　　　［１，１］

　　Ｊ^3＝［４１，３０］→（ｘ，ｙ，ｚ）＝（５３２，４５０，６９７）

　　　　　［１５，１１］

　　Ｊ^5＝［５７１，４１８］

　　　　　［２０９，１５３］

→（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１０３３５０，８７３６２，１３５３２７）

など無限に解が得られます．

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（Ｑ３）△＋△＝△＋△を満たす整数解はあるか？

（Ａ３）ｘ（ｘ＋１）／２＋ｙ（ｙ＋１）／２＝ｚ（ｚ＋１）／２＋ｗ（ｗ＋１）／２

　　（２ｘ＋１）^2＋（２ｙ＋１）^2＝（２ｚ＋１）^2＋（２ｗ＋１）^2

ここで，２ｘ＋１＝Ｘ，２ｙ＋１＝Ｙ，２ｚ＋１＝Ｚ，２ｗ＋１＝Ｗとおくと

　　Ｘ^2＋Ｙ^2＝Ｚ^2＋Ｗ^2

すなわち，□＋□＝□＋□？という問題に帰着されます．

　　２ｘ＋１＝ａｂ−ｃｄ，２ｙ＋１＝ａｄ＋ｂｃ

　　２ｚ＋１＝ａｂ＋ｃｄ，２ｗ＋１＝ａｄ−ｂｃ

　たとえば，

　　Ｊ＝［３，２］→（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）＝（１，５，４，３）

　　　　［１，３］

　　Ｊ^3＝［４５，５８］

　　　　　［２９，４５］

→（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）＝（６５２，１８５３，１９５７，１７１）

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