ｎ＝△＋△＋△

はと，任意の自然数は高々３個の三角数の和として表すことができるという定理である．

（証明）４^k（８ｎ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2と書けます．このとき，ｘ＝２ｐ＋１，ｙ＝２ｑ＋１，ｚ＝２ｒ＋１とおくと

　　ｎ＝ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２＋ｒ（ｒ＋１）／２

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　しかしながら，異なる三角数の和として表すことができない数がある．その最大数は３３である．いいかえれば，

　　３３≠Σｅk（ｋ，２），ｅk＝０または１

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（おまけ）

　任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せますが，

　　７，１５，２３，３１，３９，４７，・・・，８ｎ＋７

は３つの平方数の和としては表せない．

　平方数を８で割ると，０，１，４余る．

（証明）

　２で割りきれるが４では割りきれない偶数の平方→８で割ると余りは４

　４で割りきれる偶数の平方→８で割ると余りは０

したがって，

　偶数の平方→８で割ると余りは４か０

　奇数（２ｎ＋１）の平方＝４ｎ（ｎ＋１）＋１→８で割ると余りは１

したがって，

　３つの平方数の和→８で割ると余りは４か０か３

　以上のことより

　　７，１５，２３，３１，３９，４７，・・・，８ｎ＋７

は３つの平方数の和としては表せない．

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