（その７）（その８）で行った近似計算（Ｈ＜＜Ｒ）についてまとめておきたい．

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［１］ｘ＜＜１のとき，

　　（１＋ｘ）^a＝１＋ａｘ

　　（１＋Ｈ／Ｒ）^2＝１＋２Ｈ／Ｒ

　　１／（１＋Ｈ／Ｒ）＝１−Ｈ／Ｒ

［２］ｘ＜＜１のとき，

　　ｃｏｓｘ＝１−ｘ^2／２

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^／６

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　オイラーはどうやってζ（ｓ）を発見したのでしょうか．

　オイラーは三角関数ｓｉｎｘの展開式（無限次多項式）が

ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・

のようになることを知っていました．また，ｓｉｎｘはｘ＝ｋπ（ｋ：整数）で０になります．すなわち，方程式ｓｉｎｘ＝０にはｘ＝０，ｘ＝±π，ｘ＝±２π，・・・のように無限個の解が存在することになります．

　したがって，ｓｉｎｘを因数分解して無限積表示すると

ｓｉｎｘ

＝ｘΠ（１−ｘ／ｋπ）

＝・・・（１＋ｘ／２π）（１＋ｘ／π）ｘ（１−ｘ／π）（１−ｘ／２π）・・・

＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／２^2π^2（１−ｘ^2／３^2π2）・・・

＝ｘΠ（１−ｘ^2／ｋ^2π^2）

となります．

　この無限積を展開して，無限次多項式の係数と比較します．たとえば，ｘ^3 の係数を比較することにより

ζ（２）＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６

が得られます．ｘ^5 ，ｘ^7 ，・・・の係数同士を等号で結ぶと

　　ζ（４）＝π^4／９０，ζ（６）＝π^6／９４５，・・・

も同様に得られます．

　ｃｏｓｘ＝１−ｘ^2／２！＋ｘ^4／４！−ｘ^6／６！＋・・・

についても同じような方法を適用し，

１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋１／７^2＋・・・＝π^2／８

さらに，

２（１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋１／７^2＋・・・）−（１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・）

＝１／１^2−１／２^2＋１／３^2−１／４^2＋・・・＝π^2／１２

を得ることができます．

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