カタラン数列では３倍して１を引いたのですが，３倍して１を足す問題として，コラッツの問題を紹介しておきましょう．

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【１】コラッツの問題

　何でもいいから好きな自然数ａ0から始めて，奇数なら２で割る，偶数なら３倍して１を足す．

(1)ａ0＝３から始めると

３→１０→５→１６→８→４→２→１（→４→２→１→４→２→１）

(2)ａ0＝７から始めると

７→２２→１１→３４→１７→５２→２６→１３→４０→２０→１０→５→１６→８→４→２→１（→４→２→１→４→２→１）

　どんな数でも１にたどりついて，その後は（→４→２→１→４→２→１）のくり返しになるというのがコラッツ予想です．この問題は理論的に証明することも反例を見つけることもできていない未解決問題となっています．

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【２】おまけ

　コラッツ予想はいわば３ｎ＋１予想でしたが，４ｎ＋１定理として

　　「４ｎ＋１の形をした素数ｐは２つの平方数の和：ｐ＝ａ^2＋ｂ^2として表される」

は有名な数学の定理となっています．

　たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2，・・・．しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．また，８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されません．

　一方，「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのがラグランジュの定理です．さらに，

　　「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」

　　ｇ（２）＝４，ｇ（３）＝９，ｇ（４）＝１９，ｇ（５）＝３７

　　ｇ（６）＝７３，ｇ（７）＝１４３，ｇ（８）＝２７９，

　　ｇ（９）＝５４８，ｇ（１０）＝１０７９，・・・

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