平面の問題に比べて，立体の問題は簡単な問題であってもかなり面倒になり，頭の中だけで考えても難しい場合が多い．どうしても立体模型が欲しくなるところである．
今回のコラムでは
［参］正多面体アラカルト，東海大学教育開発研究所，秋山仁編
より，正多面体にまつわる性質の一部（高校生までに習う範囲）をピックアップしてみた．
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【１】正多面体と群
プラトン立体には，面と頂点の双対関係
正四面体 ←→ 正四面体 （自己双対）
立方体 ←→ 正八面体
正十二面体 ←→ 正二十面体
があり，双対正多面体同士は辺の数が等しく同じ対称性をもっている．
双対関係のほかにも包含関係があり，立方体の中に正四面体をその頂点が立方体の頂点となりその辺が立方体の面の対角線になるように内接させることができる．これと同様に，立方体の頂点が正１２面体の頂点となり，立方体の各辺が正１２面体の面上にあるように正１２面体の中に立方体を内接させることができる（このような８頂点の選び方は合計５通りある）．
このことによって
(1)正４面体群は正８面体群の部分群である
(2)正８面体群は正２０面体群の部分群である
ことが直ちにわかる．
３次元空間の回転群の有限部分群は，コーシーが示したように
(1)巡回群Ｃn
(2)正二面体群Ｄ2n
(3)正多面体群，すなわち
a)正四面体群（４次交代群：Ａ4）
b)正八面体群（４次対称群：Ｓ4）
c)正二十面体群（５次交代群：Ａ5）
に限られ，
Ａ4＜Ｓ4＜Ａ5
るというわけである．
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【２】正多面体の巡礼
(1)正四面体の６個の辺の中点を結ぶと，正四面体の中に正八面体ができる．
（この正八面体の体積はもとの正四面体の１／２である）
(2)正八面体の１２個の辺を黄金比で分割した点を結ぶと，正八面体の中に正２０面体ができる．
(3)正２０面体の２０個の面の重心を結ぶと，正２０面体の中に正１２面体ができる．
(4)正１２面体の８個の頂点を結ぶと，正１２面体の中に正六面体ができる．
(5)正六面体の４個の頂点を結ぶと，正六面体の中に正四面体ができる．
（この正四面体の体積はもとの正六面体の１／３である）
ここから(1)に戻り，正多面体の相互関係が巡回して現れる．一番外側に辺の長さ１の正１２面体をおくと，その内部に辺の長さφの立方体，その中に辺の長さφ√２の正四面体がはいる．この双対は正四面体の中に正八面体，正八面体の中に正二十面体がはいるもので，この関係は外側にも内側にも無限に続くことになる．
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【３】正多面体の体積
巡礼するごとに正多面体はやせていく．(1)と(5)の体積比はすぐわかるが，(2),(3),(4)の体積比はどうなっているのだろうか？
各正多面体の１辺の長さをａとして，正多面体の表面積と体積を付記すると
表面積 体積
正四面体 ａ^2√３ ａ^3√２／１２
正六面体 ａ^2６ ａ^3
正八面体 ａ^2２√３ ａ^3√２／３
正１２面体 ａ^2（２５＋１０√５）^1/2 ａ^3（１５＋７√５）／４
正２０面体 ａ^2５√３ ａ^3（１５＋５√５）／１２
したがって，巡礼の体積比は，φ＝（１＋√５）／２とおいて
(1)√２／１２：√２／２４＝２：１=1:0.5
(2)√２／３：（１５＋５√５）／１２（√２／φ^2）^3=1:0.72949
(3)（１５＋５√５）／１２：（１５＋７√５）／１２√３=1:0.675973
(4)（１５＋７√５）／４：φ^3＝（１５＋７√５）／４：２＋√５=1:0.552786
(5)１：√２／１２×２√２＝３：１=1:0.333333
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【４】ペトリー多角形
正多面体をいろいろな方向から平面で切りわけると，断面にはどんな形の正多角形ができるだろうか？
［答］正多角形としては
正四面体→正三角形，正方形
立方体→正方形，正三角形，正六角形
正八面体→正方形，正六角形
正十二面体→正方形，正三角形，正十角形
正二十面体→正五角形，正十角形
正多面体をいろいろに方向に投影すると，投影図にはどんな形の正多角形ができるか？
［答］面心図，辺心図，点心図の順に記すが
正四面体→正三角形，正方形，正三角形
立方体→正方形，長方形，正六角形
正八面体→正六角形，菱形，正方形
正十二面体→正十角形，歪六角形，歪十二角形
正二十面体→正六角形，歪六角形，正十角形
正多面体のもつ双対性は，ある程度，断面や投影図に反映されるが，とくに投影図には優性遺伝することがわかるだろう．たとえば，正四面体の辺心図は正方形にみえるが，輪郭が正多角形にみえるとき，この正多角形をペトリー多面体という．各正多面体のペトリー多面体は
正四面体→正方形
立方体→正六角形
正八面体→正六角形
正十二面体→正十角形
正二十面体→正十角形
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