π≒６／５・φ^2

と近似できる．

　　ｅｘｐ（π）≒２０＋π

　　π^4＋π^5≒ｅｘｐ（π）

というのもある．

　そして最も見事なのが

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

である．整数との差はわずか１兆分の１未満である．

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　−ｄ＝４３，６７，１６３

はとても面白い性質をもっています．

　　ｘ＝ｅｘｐ（π√ｄ）

が数値的にとても整数に近くなりうるというものです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝884736743.999777･･･

　　ｅｘｐ（π√６７）＝147197952743.99999866･･･

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

　これは決して偶然の一致ではありません．ｘに対しては

　　ｘ−７４４＋１９６８８４／ｘ−２１４９３７６０／ｘ^2＋・・・

がぴったり整数になることがわかっています．これらの係数は重さ０のモジュラー関数においてｑ→−１／ｘとしたものです．

　ｘが大きいほど後半の項は小さな値となるので，ｘ自身は極めて整数（実は立方数）に近い数になるというわけです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝９６０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√６７）＝５２８０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

　ｅｘｐ（π√１６３）は，１９６５年のエイプリル・フールのジョークとして，マーチン・ガードナーは整数だと主張し，さらに，冗談で１９１４年のラマヌジャンの論文に書かれてあるとしました．それ以降，ｅｘｐ（π√１６３）はラマヌジャン定数という名前で呼べれるようになったとのことです．

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