双子の４ｎ面体は正三角形でなく二等辺三角形（頂角ｔ）からできている面数４ｎの双子の多面体である．

　ゴールドバーグは，この多面体の安定性についても調べていて，

(1)ｎ＝５，ｔ＝５９°→一方の重五角錘を完全に押しつぶすことができる

(2)ｎ＝３，ｔ＝１０７°３６′→３種類の安定した形状をとる

という結果が与えられていることがわかった．

　さらに，

　　［参］クロムウェル「多面体」シュプリンガー・フェアラーク東京

には

(3)ｎ＝３，ｔ＞１０３°＋α→３種類の安定した形状をとる

とある．

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【１】重ｎ角錐の高さ

　まず，二等辺三角形（頂角ｔ）の底辺の長さをｂ，等辺の長さを１とすると，

　　ｂ＝２ｓｉｎ（ｔ／２）

　次に，重ｎ角錐の高さｈを求めてみることにする．

　　ｂ／（４−ｂ^2−ｈ^2）^(1/2)＝ｔａｎ（π／ｎ）

より

　　ｈ^2＝−ｂ^2＋（４−ｂ^2）ｔａｎ^2（π／ｎ）

となる．

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【２】重ｎ角錐の開口関数

　重ｎ角錐に１本の切れ込みを入れると，口の開いた重四角錐が得られる．一方の開口重四角錐の高さｈから開口の大きさｗを求めると，

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（４ａｒｃｔａｎｂ（４−ｂ^2−ｈ^2）^-1/2）

　これは他方の開口重四角錐の高さとなるから，

　　ｈ＝ｇ（ｗ）＝（４−ｗ^2）^1/2ｓｉｎ（４ａｒｃｔａｎｂ（４−ｂ^2−ｗ^2）^-1/2）

　ここで，２つの開口重ｎ角錐が歪みなしに接合できるための条件は

　　ｈ＝ｇ（ｆ（ｈ））

　　ｈ：０〜（−ｂ^2＋（４−ｂ^2）ｔａｎ^2（π／ｎ））^1/2

である．

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【３】プログラムによる検証

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（４ａｒｃｔａｎｂ（４−ｂ^2−ｈ^2）^-1/2）

とおいて，ｙ＝ｘ，ｙ＝ｇ（ｆ（ｘ））の交点を求めてみよう．グラフを描いてみるまでもなく，以下のような簡単なプログラムで，ｎ＝３，ｔ：約１０３．５°〜１０７．５°のとき，交点が３箇所あることがわかる．

1000 PI=3.14159

1010 N=3

1020 T=105:T=T/180*PI:B=2*SIN(T/2):PRINT B

1030 '[b2t]:T=2*ATN(B/SQR(4-B*B)):T=T*180/PI:PRINT T

1040 MADE=SQR(4-B*B-B*B/TAN(PI/N)/TAN(PI/N))

1050 FOR X=0 TO MADE STEP .05

1060 Y=SQR(4-X*X)*SIN(N*ATN(B/SQR(4-B*B-X*X)))

1070 IF (4-B*B-Y*Y)<=0 THEN 1100

1080 Z=SQR(4-Y*Y)*SIN(N*ATN(B/SQR(4-B*B-Y*Y)))

1090 PRINT X,Z,X-Z

1100 NEXT X

1110 END

　ｎ＝３，ｔ＝１０５°のとき，ｘ＝０．１０１３，ｘ＝０．４９９６，ｘ＝０．７５５１，すなわち，頂角が１０５°の１２個の二等辺三角形からできている双子の多面体は３つの安定した形状をとるのである．

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