レムニスケートのｋ等分点に引き続いて，楕円のｋ等分点について考えてみることにしたい．その基礎的な事項は（その１０）で与えてあるが，まずはその復習から．
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【１】楕円の場合
円錐曲線ｙ^2＝ａｘ^2＋ｂの場合を考えてみよう．この曲線はａ＜０のとき楕円，ａ＞０のとき双曲線であるが，ｙｄｙ／ｄｘ＝ａｘであるからその線素は
ｄｓ＝ｄｘ（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2
ｐ＝ａ／ｂ，ｑ＝（ａ＋ａ^2）／ｂ
で与えられる．円ではａ＝−１，ｂ＝１，ｐ＝−１，ｑ＝０より
ｄｓ＝ｄｘ／（１−ｘ^2）^1/2
となる．
この円錐曲線と１対１対応する楕円曲線
ｚ^2＝Ｆ（ｘ）＝（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2）
＝１＋（ｐ＋ｑ）ｘ^2＋ｐｑｘ^4＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4
ｍ＝ｐ＋ｑ，ｎ＝ｐｑ
を定義する．
たとえば，楕円ｙ^2＝ａｘ^2＋ｂのｘ≧０，ｙ≧０の部分を扱い，始点をＰ（０，√ｂ），終点をＱ＝（α，０）
α＝√（−ｂ／ａ）
にとると，Ｐ，Ｑはそれぞれ楕円曲線の上の点Ａ（０，１），Ｂ（α，０）に対応する．
ところで，楕円曲線ｚ^2＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4において，Ａ（０，１），Ｂ（ａ，ｂ）にとれば，ｂ^2＝１＋ｍａ^2＋ｎａ^4となるが，このとき，加法・減法公式は
ｘ’＝（ｂｘ±ａｙ）／（１−ｎａ^2ｘ^2）
と表すことができる（その１０）．
減法公式にａ＝α，ｂ＝０，ｎ＝ｐｑを適用すると，ａ^2＝−１／ｐより
ｘ’＝（ｂｘ±ａｙ）／（１−ｎａ^2ｘ^2）
＝α（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2
となり，楕円の弧ＰＱはＱＰに写像されＰとＱは移り合う．
さらに，ＰＱの線素
ｄｓ＝ｄｘ（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2
は
ｘ’＝α（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2
を用いて
ｄｓ＝αｄｘ／ｘ’
一方，写像ｘ→ｘ’でｄｓを変換したものは
ｄｓ’＝αｄｘ’／ｘ
と書ける．ここで，Ｍ（ｘ，ｙ）をＰＱ上の任意の点，写像ｘ→ｘ’によるＭの像をＮとすると，
弧ＰＭの長さ：λ＝α∫(0,x)ｄｘ／ｘ’
弧ＱＮの長さ：λ’＝−α∫(0,x)ｄｘ’／ｘ
λ’−λ＝ｑαｘｘ’
が得られる．
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【２】楕円のｋ等分点
円ではｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝１−ｘ^2，レムニスケートではｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝１−ｘ^4とおいて，
ｄｓ＝ｄｘ／ｙ
で与えられることをみてきたが，たとえば，レムニスケートの弧長では，加法公式
ｘ’＝｛ｘ（１−ｙ^4）^1/2＋ｙ（１−ｘ^4）^1/2｝／（１＋ｘ^2ｙ^2）
において，ｙ＝ｘとおくと倍角公式が得られる．また，ｙ＝１の場合の減法公式は，反転写像
ｘ’＝（１−ｘ^4）^1/2／（１＋ｘ^2）＝｛（１−ｘ^2）／（１＋ｘ^2）｝^1/2
を与える．
楕円の弧長を求めるには，楕円の弧と１対１対応する楕円曲線
ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2）＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4
の加法公式
ｘ’＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2＋ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）において，ｙ＝ｘとおくと倍角公式
ｘ’＝２ｘｙ／（１−ｎｘ^4）＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）
が得られる．
また，１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4＝０の場合，すなわち，１＋ｐｙ^2＝０，ｙ^2＝−１／ｐの場合の減法公式は，
ｘ’＝ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^2ｙ^2）
１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4＝（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2），ｎ＝ｐｑ，α^2＝−１／ｐ
より，反転写像
ｘ’＝α（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2
を与える．
これ以降はレムニスケート型ｙ^2＝１−ｘ^4の場合とまったく同様に進むことができて，ｋ倍角公式でｘ’＝αとおいてｘを求めるとその点がｋ等分点に対応する．たとえば，楕円ｘ^2／４＋ｙ^2＝１，すなわち，ａ＝−１／４，ｂ＝１，ｐ＝ａ／ｂ＝−１／４，ｑ＝（ａ＋ａ^2）／ｂ＝−３／１６，ｍ＝ｐ＋ｑ＝−７／１６，ｎ＝ｐｑ＝３／６４，α＝√（−ｂ／ａ）＝２の場合について次回以降，具体的に計算することにしたい．
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【３】雑感
楕円のｋ等分点について考察してきたが，
ｘ’＝α（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2
が反転公式である．
したがって，２等分点に対応する
ｘ＝α（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2
ｑｘ^4＋（１−ｐα^2）ｘ^2−α^2＝０
α^2＝−１／ｐより
ｐｑｘ^4＋２ｐｘ^2＋１＝０
はｘ^2に関する２次方程式となる．３次方程式に帰着する作図問題は＋−×÷√の演算を組み合わせても解けないが，２次方程式であるから楕円を定規とコンパスだけで２等分することができるはずである．
ｘ^2＝１／ｐｑ（−ｐ−（ｐ^2−ｐｑ）^1/2）
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