自然数Ｎの正の約数の和をσ（Ｎ）で表すことにします．ｋ＝２の場合が完全数ですが，

　　６＝２（２^2−１）

　　２８＝２^2（２^3−１）

のように，すべての偶数の完全数は

　　２^p-1（２^p−１）

で表されます（ユークリッド）．

　ただし，ｐおよび２^p−１が素数（メルセンヌ素数）でなければなりません．２^p-1の自分自身を含む約数の和は

　　１＋２＋４＋・・・＋２^p-2＋２^p-1＝２^p−１

　（２^p−１）の自分自身を含む約数の和は

　　１＋２^p−１＝２^p

　したがって，２^p-1（２^p−１）の自分自身を含む約数の和は

　　（１＋２＋４＋・・・＋２^p-2＋２^p-1）（１＋２^p−１）＝２^p（２^p−１）

２^p-1（２^p−１）の自分自身を除く約数の和は

　　２^p-1（２^p−１）

になるというわけです．

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　ｐ＝２，３の次の完全数はｐ＝５のとき，４９６になります．

　　ｐ＝７のとき，８１２８

　　ｐ＝１１のとき，２^p−１は素数でない

　　ｐ＝１３のとき，３３５５０３３６

　　ｐ＝１７のとき，８５８９８６９０５６

偶数の完全数はメルセンヌ素数と同じ数だけあるというわけです．

　逆に，ｐおよび２^p−１が素数（メルセンヌ素数）でないときは，完全数を与えないことを示しておきたい．

　　６＝２（２^2−１）

　　２８＝２^2（２^3−１）

ｐ＝４のとき

　　１２０＝２^3（２^4−１）

（２^4−１）は素数ではなく，１５＝３・５

　したがって，

　　σ（１２０）＝σ（８）σ（３）σ（５）

＝（１＋２＋４＋８）（３＋１）（５＋１）＝３６０＝３・１２０

となって，１２０は（完全数ではなく）３倍完全数である．

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