【１】フィボナッチ数列と黄金比

　　１，１，２，３，５，８，・・・

初項１，第２項１から始まり，隣り合う２項の和が次の項となるこの数列をフィボナッチ数列とよびます．その一般項Ｆn は

　　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2

です．フィボナッチ数列の特性方程式

　　ｘ^2−ｘ−１＝０

の２つの解より，連続する２項の比は黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８０３４・・・

に次第に近づくことになります．

　黄金長方形から正方形を取り除くと一回り小さな黄金長方形が現れてきます．このことを繰り返し行えば対数らせんが現れますが，この曲線は自然界ではオーム貝などの形にみられ，自己相似的な成長過程を表す理想的な曲線とされています．サイクロイドの伸開線はそれと合同なサイクロイドですが，対数らせんの伸開線もそれと合同な対数らせんになります．

　今度は逆に１辺の長さがフィボナッチ数列の正方形をらせん状に加えていきます．最初の２つの正方形は１辺の長さが１で，そこに１辺の長さが２の正方形，引き続いて１辺の長さが３，５，８，１３，２１，・・・．すると，優美な対数らせんが現れてきますが，このらせんはほぼ黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８０３４・・・

で外に広がることになります．

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【２】リュカ数列

　初項２，第２項１のフィボナッチ数列

　　２，１，３，４，７，１１，１８，・・・

は彼にちなんでリュカ数列と呼ばれています（１８７７年）．

　　Ｌn＝Ｌn-1＋Ｌn-2

　リュカはフィボナッチ数列，リュカ数列を用いてメルセンヌ数（２^n−１）が素数であるかどうかを判定し，（２^127−１）が素数であることを示しています（１８７６年）．この数は１２番目のメルセンヌ素数で，１９５２年の１３番目（２^521−１）からはコンピュータによる発見ですから，コンピュータを使わずに見つけられた最大のメルセンヌ素数になっていて，わかっている最大の素数として最長不倒記録を保ち続けました．

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【３】ペラン数列

　リュカはパドヴァン数列と同じ生成規則に従い，最初の項の値が異なるものを考案しました（１８７６年）．

　　Ａn＝Ａn-2＋Ａn-3　　　（Ａ0＝３，Ａ1＝０，Ａ2＝２）

　　３，０，２，３，２，５，５，７，１０，１２，１７，２２，２９，・・・

　１８９９年にペランがこの着想を発展させたので，この数列は現在ではペラン数列と呼ばれる．この数列の項比もｐに近づく，さらに深遠な性質「ｎが素数のときＡnはｎで割り切れる」をもっている．たとえば，

　　Ａ18＝１５８

　　１５８／１８＝８．７７７→１８は素数ではない．

　すなわち，この数列は非素数性のテストに使える．しかし，逆命題「Ａnがｎで割り切れるときｎは素数である」は必ずしも成り立たないことが知られている．ただし，その最小の反例は数万の大きさなので，コンピュータでも使わなければ反証できないという．

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