図形数についてのよくある問題は，たとえばそれが平方数になるかどうかを問うものである．

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［１］四角錐数ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６が平方数になるのは，ｎ＝１とｎ＝２４のときだけであることはよく知られている．

　　１^2＋２^2＋・・・＋２４^2＝２４・２５・４９／６＝４９００＝７０^2

［２］四面体数ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６が平方数になるのは，ｎ＝１とｎ＝２のとき，

　　１＋３＝２^2

のほかに，ｎ＝４８のとき，

　　４８・４９・５０／６＝１９６００＝１４０^2

がある．

［３］四面体数ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６が三角数になるのは，ｎ＝３，８，２０，３４のとき，

　　Ｔ3＝１０＝４・５／２

　　Ｔ8＝１２０＝１５・１６／２

　　Ｔ20＝１５４０＝５５・５６／２

　　Ｔ34＝７１４０＝１１９・１２０／２

［４］高次元の四面体数が平方数にいなるのは，７次元四面体数

　ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）（ｎ＋４）（ｎ＋５）（ｎ＋６）／５０４０において，ｎ＝３の場合がある．

　　Ｔ3^(7)＝３６　　（ｎ＝３のとき，３６＝６^2）

［５］高次元の四面体数が三角数になるのは，いくつかの例がある

　Ｔ3^(4)＝１５，・・・，Ｔ9^(9)＝２４３１０，・・・

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