【１】３平方和定理

　４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されません．

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　３平方和定理，すなわち，ｐが８ｋ＋７型素数でなければ，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2の形に書くことができることをミンコフスキーの定理を用いて証明したい．

　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2がｐの倍数となるすべての点は格子をなすが，その平行六面体の面積はｐである．

　原点を中心とする半径１．１√ｐの球を描くと，その体積は

　　４πｒ^3／３＝１．７７πｐ^3/2＝７．２３ｐ^3/2＞４ｐ

　ミンコフスキーの定理より，この球は原点以外の格子点（ｘ，ｙ）を少なくともひとつ含む．

　　０＜ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＜１．２１ｐ

　すなわち，０と１．２１ｐの間にある０以外のｐの倍数はｐ自体であることより，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝ｐが従う．

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