１，１＋ｑ，１＋ｑ＋ｑ^2，・・・，１＋ｑ＋ｑ^2＋・・・＋ｑ^(n-1)，・・・

は，ｑ→１とすることによって，１，２，３，・・・，ｎ，・・・に近づく．このことから逆に

　　１，１＋ｑ，１＋ｑ＋ｑ^2，・・・，１＋ｑ＋ｑ^2＋・・・＋ｑ^(n-1)，・・・

＝（１−ｑ）／（１−ｑ），（１−ｑ^2）／（１−ｑ），（１−ｑ^3）／（１−ｑ），・・・，（１−ｑ^n）／（１−ｑ），・・・

は自然数のｑアナログを与えていると考えることができる．

　ｑアナログとはｑの多項式であって，ｑを１にしたときにもとの対象が現れるようなもののことである．ｑアナログは量子化の概念に非常によく似た形で与えられるといったほうがわかりやすいかもしれない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ｑ-２項係数（ガウス多項式）

　階乗ｎ！のｑアナログは

　　Π(1-q^k)/(1-q)

となるが，２項係数(n,m)=n!/m!(n-m)!のｑアナログ（ｑ-２項係数）を

　　[n,m]

と書くことにして，さらに

　　(a;q)n=(1-a)(1-aq)･･･(1-aq^(n-1))=Π(1-aq^k)

なる記号を導入すると

　　(q;q)n=(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^n)=Π(1-q^k)

になるので，

　　[n,m]=(1-q^n)(1-q^n-1)･･･(1-q^n-m+1)/(1-q^m)(1-q^m-1)･･･(1-q)=(q;q)n/(q;q)m(q;q)n-m

　このようにして，２項定理

　　(1+z)^n=Σ(n,m)z^m

のｑアナログは

　　(1+z)(1+zq)･･･(1+zq^(n-1))=(-z;q)n= Σ[n,m]q^(m(m-1)/2)･z^m

と表すことができる．

　同様に，

　　(1-z)^-n=Σ(n+m-1,m)z^m

のｑアナログは

　　1/{(1-zq)(1-zq^2)･･･(1-zq^n)}= Σ[n+m-1,m]q^m･z^m

が成り立つ．

　二項級数は多くの重要な性質をもっている．

　　(n+m,m)=(n+m,n)　　　（対称性）

　　(n,m)=(n-1,m)+(n-1,m-1)　　　（漸化式）

　　(n+m,m)=(n+m-1,m)+(n+m-1,m-1)　　　（漸化式）

　　Σ(n,m)=2^n

　　Σ(-1)^m(n,m)=0

　　Σ(n,m)^2=(2n,n)

　これらの多くがｑアナログに拡張される．

　　[n+m,m]=[n+m,n]　　　（対称性）

　　[n+m,m]=[n+m-1,m]+q^m[n+m-1,m-1]　　　（漸化式）

　　[n+m,m]=q^n[n+m-1,m]+[n+m-1,m-1]　　　（漸化式）

　　Σ(-1)^m[n,m]=0　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎが奇数のとき

　　Σ(-1)^m[n,m]=(1-q)(1-q^3)(1-q^5)･･･(1-q^n-1)　　ｎが偶数のとき

　　Σq^m^2[n,m]=[2n,m]

　　Σq^m/2[n,m]=(1+q^1/2)(1+q)(1+q^3/2)･･･(1+q^n/2)

　　Σq^l[m+l,m]=[n+m+1,n]

　ここで，Σq^m^2[n,m]=[2n,m]において，ｎ→∞とすると

　　Σq^m^2/{(1-q)^2(1-q^2)^2･･･(1-q^m)^2}= Π1/(1-q^n)

が導かれる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ｑ-超幾何関数

　ｑ-２項級数は

　　(az;q)∞/(z;q)∞=Σ(a;q)m/(q;q)m･z^m

ガンマ関数（階乗の一般化），ガウスの超幾何関数（２項級数の一般化）のｑアナログも同様に与えることができて，

　　ｑ-ガンマ関数：Γq(x)=(q;q)∞/(q^x;q)∞(1-q)^(1-x)

　　ｑ-超幾何関数：2φ1(a,b,c:q,x)=Σ(a;q)m(b;q)n/(c;q)m(q;q)m･x^m

と定義される．

　ｑ-超幾何関数はハイネの超幾何関数2φ1とも呼称される．ガウスの超幾何関数2Ｆ1は超幾何微分方程式

　　x(1-x)d^2y/dx^2+{γ-(α+β+1)x}dy/dx-αβy=0

を満たすが，ｑ-超幾何関数2φ1は類似の２階差分方程式をみたす．

　　Σq^m^2/{(1-q)^2(1-q^2)^2･･･(1-q^m)^2}= Π1/(1-q^n)

はｑ-超幾何関数

　　Σ(a-1)(a-q)･･･(a-q^n-1)(b-1)(b-q)･･･(b-q^n-1)x^n/(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^n)(1-c)(1-cq)･･･(1-cq^n-1)=Π(1-caq^n)(1-cbq^n)/(1-cq^n)(1-abcq^n)

の特別な場合である．

　　Σq^m^2/{(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^m)}= Π1/(1-q^(5n-4))(1-q^(5n-1)

　　Σq^(m^2+m)/{(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^m)}= Π1/(1-q^(5n-3))(1-q^(5n-2)

はそれぞれロジャーズ・ラマヌジャンの第１恒等式，第２恒等式であるが，ロジャース・ラマヌジャン恒等式にはやさしい証明は存在せず，ｑ二項係数とヤコビの三重積公式を使って証明される．

　　Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞（第１恒等式）

　　Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞（第２恒等式）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝