π≒６／５・φ^2

と近似できたが，ｅに対しても

　　ｅ≒ｋφ^2，ｋφ^3，・・・

などの形の近似式を求めたい．

　しかし，πｅ≒８では粗すぎるし，

　　ｅｘｐ（π）≒２０＋π

は使いにくい．

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［１］ｅの近似分数

　　ａn+1＝（４ｎ＋２）ａn＋ａn-1，ｂn+1＝（４ｎ＋２）ｂn＋ｂn-1

初期値をａ1＝１，ａ2＝３，ａ3＝１９，ｂ1＝１，ｂ2＝１，ｂ3＝７とすると

　　ａn／ｂn→　ｅ

となります．係数は整数ではありませんが，係数が次々に大きくなるので近似速度は速くなります．

ｎ　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６

ａn 3　 19 193 2721 49171 1084483

ｂn 1 7 71 1001 18089 398959

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［２］πの近似分数

　今から２０００年以上も前の紀元前３世紀，アルキメデスは円に内接・外接する正９６角形による計算から３・１０／７１＜π＜３・１／７，あるいは小数で表すと３．１４０８４＜π＜３．１４２８５８よりπ＝３．１４という近似値を求めています．

　円周率πについては22/7という近似分数が古くからよく知られていて，その上は355/113がよい精度をもっています．もうひとつの超越数の代表格である自然対数の底ｅの場合，これに相当するのは19/7,193/71ということになるのでしょう．

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［３］ｅ≒ｋφ^2

　　２２３／７１＜π＜２２／７

　　１９／７＜ｅ＜１９３／７１

　分母が共通していますので，

　　π≒２２／１９・ｅ

　　π≒２２３／１９３・ｅ

とすると，

　　２２／１９・ｅ≒６／５・φ^2

　　ｅ≒５７／５５・φ^2

が得られます．

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