カタラン立体はアルキメデス立体の双対（dual），相反（reciprocal）です．その一般的な構成法は，アルキメデス立体の各頂点において，外接球面に引いた接平面を作りその凸包をとります．アルキメデス立体は球に内接しますが，カタラン立体は球に外接するというわけです．

　しかし，その方法では接平面同士の交線を計算しなければならないので，高次元では結構厄介な計算となります．そこで，アルキメデス立体の計量が与えられている場合のカタラン立体構成法を一般化した形で考えてみます．

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　半径Ｒの球に内接するアルキメデス立体のファセットの中心をＸ（ｘ1，・・・，ｘn）とし，球面に対して反転させます．

　Ｙ（ｙ1，・・・，ｙn）はＯＸの延長線上にありますから

　　Ｙ（ｙ1，・・・，ｙn）＝（ｋｘ1，・・・，ｋｘn）

　ＯＸの延長と球面の交点（ｍｘ1，・・・，ｍｘn）は

　　ｍ^2（ｘ1^2＋・・・＋ｘn^2）＝Ｒ^2

　　（ｘ1^2＋・・・＋ｘn^2）^1/2・ｋ（ｘ1^2＋・・・＋ｘn^2）^1/2＝Ｒ^2

　　ｋ・Ｒ^2／ｍ^2＝Ｒ^2，ｋ＝ｍ^2

　　ｙ1＝ｍ^2ｘ1，・・・，ｙn＝ｍ^2ｘn

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［１］β2 in γ2

　β2の頂点の座標を（±１，０），（０，±１）

　外接球はｘ^2＋ｙ^2＝１，Ｒ＝１

　γ2の頂点の座標を（±１，±１），（±１，±１）

　β2の辺の中点は（１／２，１／２）

　ｍ^2｛（１／２）^2＋（１／２）^2｝＝１，ｍ＝√２

　その反転は（１，１）　

［２］β3 in γ3

　β2の頂点の座標を（±１，０，０），（０，±１，０），（０，０，±１）

　外接球はｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝１，Ｒ＝１

　γ2の頂点の座標を（±１，±１，±１），（±１，±１，±１）

　β2の面の中点は（１／３，１／３，１／３）

　ｍ^2｛（１／３）^2＋（１／３）^2＋（１／３）^2｝＝１，ｍ＝√３

　その反転は（１，１，１）

［３］立方八面体 in 菱形１２面体

　立方八面体の三角形面の頂点の座標を（１，０，１），（１，１，０），（０，１，１）とする．

　外接球はｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝２，Ｒ＝√２

　三角形面の中心座標は（２／３，２／３，２／３）

　ｍ^2｛（２／３）^2＋（２／３）^2＋（２／３）^2｝＝２，ｍ＝√（３／２）

　反転先は（１，１，１）・・・これは菱形１２面体の頂点の座標である．　

　立方八面体の正方形の頂点の座標を（±１，０，１），（０，±１，１）とする．

　外接球はｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝２，Ｒ＝√２

　正方形面の中心座標は（０，０，１）

　ｍ^2｛１^2｝＝２，ｍ＝√２

　反転先は（０，０，２）・・・これは菱形１２面体の頂点の座標である．　

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　これを

　　｛３３３｝（１００１），｛３３３３｝（１０００１）

　　｛３３３｝（０１１０），｛３３３３｝（００１００）

に対して適用すればよいことになる．

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