ｎ単体と線分との直積であれば，ｎ単体柱であるから

　　Ｎk^(n+1)＝２Ｎk^(n)＋Ｎk-1^(n)

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

が成立する．

　ｍ単体との直積であれば，

　　Ｎk^(n+m)＝（ｍ＋１）Ｎk^(n)＋Σ(1,m)m+1Ｃj+1Ｎk-j^(n)

と考えるのが，自然な発想と思われる．

　まとめて，

　　Ｎk^(n+m)＝Σ(0,m)m+1Ｃj+1Ｎk-j^(n)

と書くこともできる．

　ｍ＝１（１次元単体）すなわち線分の場合は

　　Ｎk^(n+1)＝２Ｎk^(n)＋Ｎk-1^(n-1)

となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　（その３３０）より

［１］Ｎk^(n+m)＝Σ(0,k)m+1Ｃj+1Ｎk-j^(n)

［２］Ｎk^(m+n)＝Σ(0,k)n+1Ｃj+1Ｎk-j^(m)

は等しい．

［１］正単体：Ｎk^(n)＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

［２］立方体：Ｎk^(n)＝２^(n-k)（ｎ，ｋ）

［３］正軸体：Ｎk^(n)＝２^(k+1)（ｎ，ｋ＋１）

に対して

［１］Ｎk^(n+m)＝Σ(0,k)Ｎj^(m)Ｎk-j^(n)

［２］Ｎk^(m+n)＝Σ(0,k)Ｎj^(n)Ｎk-j^(m)

は等しい．

　一般に，ｎ≧ｍとして，

［１］Ｈk^(n+1)＝Σ(0,k)Ｆj^(m)Ｇk-j^(n)

［２］Ｈk^(m+1)＝Σ(0,k)Ｆj^(n)Ｇk-j^(m)

は等しいのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　三角形（３，３，１，０）と三角形（３，３，１，０）の直積を計算すると，

［１］ｋ＝０：ｖ＝３・３＝９→（３）と（３）の逆順の積和

［２］ｋ＝１：ｅ＝３・３＋３・３＝１８→（３，３）と（３，３）の逆順の積和

［３］ｋ＝２：ｆ＝３・１＋３・３＋１・３＝１５→（３，３，１）と（３，３，１）の逆順の積和

［４］ｋ＝３：ｃ＝３・０＋３・１＋１・３＋０・３＝６→（３，３，１，０）と（３，３，１，０）の逆順の積和

　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０が成り立つことがわかるだろう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　三角形（３，３，１，０）と四角形（４，４，１，０）の直積を計算すると，

［１］ｋ＝０：ｖ＝３・４＝１２→（３）と（４）の逆順の積和

［２］ｋ＝１：ｅ＝３・４＋３・４＝２４→（３，３）と（４，４）の逆順の積和

［３］ｋ＝２：ｆ＝３・１＋３・４＋１・４＝１９→（３，３，１）と（４，４，１）

［４］ｋ＝３：ｃ＝３・０＋３・１＋１・４＋０・４＝７→（３，３，１，０）と（４，４，１，０）の逆順の積和

　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０が成り立つことがわかるだろう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝