■置換多面体の空間充填性(その447)

 きりがないのでこの辺で打ち切るが

  A×B

の新たにできる面は,

[1]Aが2次元図形の場合は∂Aすなわち辺に沿ってBを動かすので,A×BはB柱となる.

[2]Aが3次元図形の場合は∂Aすなわち面に沿ってBを動かすので,A×BはAの頂点周囲の各面とBの直積となる.

[3]Aが4次元図形の場合は∂Aすなわち3次元面に沿ってBを動かすので,A×BはAの頂点周囲の各3次元面とBの直積となる.

は間違いないところである.

 こうして新たにできるk面の形が問題になっているのであるが,そこで,

 {33}(001)×{3}(10)→{333}(0010)

 {3}(01)×{33}(100)→{333}(0100)

のような算法が成り立つかどうかが問題になっていた.これらが成り立つならば

 {3}(01)×{3}(10)→{33}(010)

も成り立つはずである.

 しかし,必ずしもこのような算法が成り立つは必要ないことになる.Bが2次元までのときも同様であるから,一方が3次元以上,他方が2次元以上となる6次元多面体でこのような問題が発生することもわかる.実際に,この問題が発生したのは6次元においてであった.

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