宮本次郎先生（釜石南高校）と一緒に，秋山仁先生の教育開発研究所を訪問した際，多面体の任意の切り口がすべて平面充填図形になる立体，多面体の展開図の周長が最小となる展開の仕方の話をうかがった．ただし，この展開図は辺に沿って切っても，好き勝手に切り込みを入れたものでも構わないものとする．
さらに
立方数の和＝三角数Ｔnの平方 （Σｋ^3＝（ｎ（ｎ＋１）／２）^2）
の証明用の数学模型を見せていただいたが，列和だけでなく，グノモン型の和をとり，２通りの方法で計算することにより得られる等式であることが明確になった．
ところで，ｍ角数とは「初項１，公差ｍ−２の等差数列の和」として定義される図形数である．正の整数は３つの三角数の和あるいは４つの四角数の和として表される・・・．
一般に「ｍ角数定理」とは「すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる」というものである．三角数を△，四角数を□，五角数を☆で表すことにすると，この定理でｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」，ｍ＝５の場合が五角数定理「ｎ＝☆＋☆＋☆＋☆＋☆」に相当する．
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【１】五角数とフィボナッチ数
五角数１，５，１２，２２，３５，・・・，Ｐn＝ｎ（３ｎ−１）／２については，五角数の和が
ΣＰk＝ｎ^2（ｎ＋１）／２
となること，三角数との関係では
Ｐn＝Ｔ2n-1−Ｔn-1，Ｐn＝Ｔ3n-1／３
となることは高校生でも計算できるだろう．
五角数に限らず，ｍ角数を図形的に考えてみると，ｍ角形にｎ−１番目の三角数Ｔn-1＝（ｎ−１）ｎ／２個の点からなる三角形を追加して作ることができるから
ｎ＋（ｍ−２）Ｔn-1＝１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝
と考えることができる．したがって，三角数との関係は五角数に特別のものではない．それでは，五角数には何か面白い性質はないのだろうか？
フィボナッチ数Ｆnは指数関数的であって，たとえば，初項１，第２項２のフィボナッチ数列１，２，３，５，８，１３，・・・の一般項は
Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n+1−｛（１−√５）／２｝^n+1］
と表される．また，三角関数を使った積表示
Ｆn＝Π(l=1~[(n+1)/2]｛１＋４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））｝
をもつ．
初項１，第２項１のフィボナッチ数列の場合は積表示においてｎ＋１→ｎとなるだけのことであり，いろいろな恒等式
Ｆn・Ｆn+2＝Ｆn+1^2−（−１）^n （カッシーニの公式）
Ｆ1＋Ｆ2＋Ｆ3＋・・・＋Ｆn＝Ｆn+2−１
Ｆ1＋Ｆ3＋Ｆ5＋・・・＋Ｆ2n-1＝Ｆ2n
Ｆ2＋Ｆ4＋Ｆ6＋・・・＋Ｆ2n＝Ｆ2n+1−１
フィボナッチ数の平方の和については
Ｆ1^2＋Ｆ2^2＋Ｆ3^2＋・・・＋Ｆn^2＝Ｆn・Ｆn+1
Ｆn+1^2＝４ＦnＦn-1＋Ｆn-2^2
Ｆn+1^2＝２Ｆn^2＋２Ｆn-1^2−Ｆn-2^2
Ｆn+1^2＝４Ｆn-1^2＋４Ｆn-1Ｆn-2＋Ｆn-2^2
Ｆn+1^2＝４Ｆn^2−４Ｆn-1Ｆn-2−３Ｆn-2^2
などが知られている．
それに対して，五角数Ｐnは多項式関数であるから，積表示はもたないだろうと思われる．特別な点といえば，五角数（したがって三角数も）整数の分割数と深く関係していることであろう．
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【２】オイラーの五角数定理
ある恒等式が分割の立場から何を意味するかという逆問題を考えてみましょう．
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+･･･
=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)･･･
において，1+x+x^2+x^3+x^4+･･･の指数は整数そのものの母関数と考えられます．一方，(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)･･･は整数を繰り返しなしで２のベキに分解しています．したがって，各整数は２のベキの総和として一意に表せることを意味しているのです．
ｎ＝ｋ1＋２ｋ2＋２^2ｋ3＋・・・
ところで，オイラーの分割関数の分母
g(x)=Π(1-x^n)
に関してオイラーが発見した定理をもう一つ紹介しておきましょう．
分割数p(n)の母関数の逆数
Π(1-x^n)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)･･･
を考えます．これを展開すると，級数中の係数がすべて０か±１の級数
Π(1-x^n)=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+x^26-x^35-x^40+x^51+･･･
=Σ(x^(6m^2-m)-x^(6m^2+5m+1))
が得られますが，これが何を意味しているかを発見できるでしょうか？
一見したところ，何を意味しているのかすら明らかではないのですが，この級数は，ｍが負になる項も含んだ
Π(1-x^n)=Σ(-1)^mx^(m(3m-1)/2))
の形にまとめられ，ここで指数の引数がｍ（３ｍ−１）／２，すなわち，１，５，１２，２２，３５，５１，・・・という数列がピタゴラスの五角数であることから，五角数定理と呼ばれています．
この恒等式は，級数中のｘ^nの係数がすべて０か±１なのですが，組合せ論の解釈から，偶数個の異なる整数への分割数と奇数個の異なる整数への分割数の差
Ｐeven(n)-Ｐodd(n)=(-1)^m ｎ＝ｍ（３ｍ＋１）／２
Ｐeven(n)-Ｐodd(n)=0 その他の場合
を表すものと考えられます．
たとえば，ｎ＝８の場合，偶数個の異なる整数への分割は7+1=6+2=5+3の３通り，奇数個の異なる整数への分割は8=5+2+1=4+3+1の３通りですから，その差は０となります．ｎ＝５の場合，偶数個の異なる整数への分割は4+1=3+2の２通り，奇数個の異なる整数への分割は5の１通りですから，その差は１となります．
個数の差があるのはｎ＝ｍ（３ｍ＋１）／２またはｎ＝ｍ（３ｍ−１）／２，すなわち，
ｎ＝１，２，５，７，１２，１５，２２，２６，・・・
の場合で，このｎ＝ｍ（３ｍ±１）／２を５角数といいます．ｎが５角数の場合に限ってＰeven(n)とＰodd(n)が異なるのですが，五角数は分割問題でも役立つというわけです．
もう一度，オイラーの５角数定理についてまとめておくと，ある種の数に対する補正項をe(n)とおいて
＃｛偶数個の異なる整数への分割｝＝＃｛奇数個の異なる整数への分割｝＋e(n)
ここで，e(n)=(-1)^j n=j(3j±1)/2
e(n)=0
オイラーの５角数定理を用いると，分割関数に対する再帰関係式
Σp(n-j(3j±1)/2)(-1)^j=0
p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+･･･
p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)-p(n-12)-p(n-15)+･･･=0^n
が得られます．ただし，ｎ＝０のとき0^n=1，ｎが正のときは0^n=0とします．
+(-1)^kp(n-1/2k(3k-1))+(-1)^kp(n-1/2k(3k+1))
のように，符号は２つずつ組になって反転していますが，それにしても不思議な公式です．これより
p(0)=1,p(1)=1,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=5,p(5)=7,p(6)=11,
p(7)=15,p(8)=22,p(9)=30,p(10)=41,p(11)=56,p(12)=77,･･･
を効率的に計算することができます．
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【３】ヤコビの３重積公式
Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))
は，オイラーが分割関数p(n)の研究中に発見した関数等式です（１７５０年）．オイラーの五角数定理はヤコビの三重積公式を使うとあっさり証明できるのですが，現在，五角数定理にはヤコビの三重積公式による証明やフランクリンによる組合せ的証明があります．
ヤコビの３重積公式は無限和と無限積を結びつける公式Σ＝Πであって，その重要な応用として，
(a)オイラーの五角数定理（１７５０年）
Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2)) m(3m-1)/2は五角数
(b)ヤコビの三角数定理（１８２９年）
Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2) (m^2+m)/2は三角数
など，加法的整数論の有名な公式があります．
五角数定理の完全な証明は，ヤコビのテータ関数や保型形式の理論の中に求められなければなりません．しかし，ヤコビを待つまでもなく，オイラーは五角数定理を証明しました．オイラーはこの定理の証明にほぼ１０年を要した（発見は１７４１年，証明は１７５０年）のですが，その間，たとえ完全な証明は与えられなくとも正しいことは間違いないことを確信していて，結果の正しさについて，微塵の疑いも抱いていなかったようです．
オイラー自身による証明はヴェイユの「数論」に紹介されています．梅田亨先生の解説によると，今日的な眼からすれば，オイラーの証明には無限次行列に対する跡公式と呼ばれるアイディアが使われているというのですが，跡公式とは，行列Ａにおいて対角和＝固有値の和，すなわち
ｔｒＡ＝Σλ
の左辺が解析的，右辺が幾何学的に得られたものであるように，ある作用素の跡を２通りの方法で計算することにより得られる等式であって，作用素とはいわば無限次行列のことと考えておくとよいと思われます．
２通りに計算するということを喩えていうならば，家計簿つけのシーンにおいて，まず行ごとの合計を求めそれを総計する，次に列ごとの合計を求めそれを総計する，そして計算が正しければその２つの計算結果は一致するはずというわけです．
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