エンゲルが空間充填３８面体を発見した方法は

［１］立方体には対称面が９枚存在する．相対する辺を含む長方形面６枚と中心を通って面に平行な互いに直交する正方形面３枚，合計９枚である．

［２］立方体の１／４８（あるいは１／６）の基本単体領域内の点を対称面を直交二等分面として鏡映変換する．

［３］４回以内の鏡映変換によって得られる点を求める．

である．

　こうして得られる多面体は通常面の途中に他の多面体の面がくるnon-face^to face arrangementの空間充填多面体となるが，とくに［３］の意味について解説したい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】平面の合同変換

　平面の合同変換は３回以内の鏡映の合成として表すことができる．

［１］鏡映１回→鏡映（不動点は鏡映軸）

［２］鏡映２回→平行移動（不動点はなし）

［３］鏡映２回→回転（不動点は回転中心）

［４］鏡映３回→すべり鏡映（不動点はなし）

　こうして，辺の途中に他の多角形の頂点がきたりするが，畳の敷き方では（１点に４枚の畳が集まるよりも）その方が安定である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】空間の合同変換

　空間の合同変換は４回以内の鏡映の合成として表すことができる．

［１］鏡映１回→鏡映（不動点は鏡映面）

［２］鏡映２回→平行移動（不動点はなし）

［３］鏡映２回→回転（不動点は回転軸）

［４］鏡映３回→すべり鏡映（不動点はなし）

［５］鏡映３回→回転鏡映（不動点は中心点）

［６］鏡映４回→らせん運動（不動点はなし）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝