今回のコラムでは，パラメトライズ（媒介変数表示の形に書くこと）の仕方は１通りではないことを見ていきたいと思います．
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【１】円のパラメータ表示
原点を中心とする半径１の円の円周上の点を（ｘ，ｙ）とすれば，第３の変数θを媒介として，ｘ＝ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθと表されます．θは（ｘ，ｙ）と（０，０），θ／２は（ｘ，ｙ）と（−１，０）を結ぶ直線とｘ軸とのなす角を表しています．
さらにｔ＝ｔａｎ（θ／２）とすると
ｔａｎ（θ／２）＝ｓｉｎθ／（１＋ｃｏｓθ），
ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），
ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）より，
ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），
ｙ＝２ｔ／（１＋ｔ^2） （−１≦ｔ≦１）
と表すことができます．
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これと同値な結果は以下のようにして得ることができます．原点を中心とする半径１の円：ｘ^2＋ｙ^2＝１の円周上のひとつの有理点が（０，１）です．この点を通る直線ｙ＝ｍｘ＋１と単位円との交点は，代入して因数分解すれば
ｘ^2＋（ｍｘ＋１）^2＝１
ｘ（（１＋ｍ^2）ｘ＋２ｍ）＝０
より
ｘ＝２ｍ／（１＋ｍ^2），
ｙ＝ｍｘ＋１＝（１−ｍ^2）／（１＋ｍ^2）
と表すことができます．
これによって，円周上の点（ｘ，ｙ）が有理点であるためにはｍが有理数であることが必要十分条件であることがわかります．すなわち，単位円上のすべての有理点は，ｍの関数
ｘ＝２ｍ／（１＋ｍ^2），
ｙ＝±（１−ｍ^2）／（１＋ｍ^2）
で表すことができます．
ｘ^2＋ｙ^2＝２（半径√２の円）において（１，１）は有理点で，この点を通る直線の方程式ｙ−１＝ｍ（ｘ−１）を（ｘ^2−１）＋（ｙ^2−１）＝０に代入して因数分解すると
ｘ＝（ｍ^2−２ｍ−１）／（ｍ^2＋１）
ｙ＝（−ｍ^2−２ｍ＋１）／（ｍ^2＋１）
が得られます．ｍ＝∞に対応する（１，−１）も有理点です．
このように，円の有理点全体は１つの変数ｍによって一意化できますが，円ばかりではなく，現在では２次曲線に１つでも有理点があると実は無限に有理点があることがわかっています．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかであって，たとえば，ｘ^2＋ｙ^2＝３（半径√３の円）の上には有理点は１つも存在しません．このことは，互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れないということからわかります．
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【２】レムニスケートのパラメータ表示
レムニスケート：極座標系でｒ^2 ＝ｃｏｓ２θ，直交座標系で（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝ｘ^2 −ｙ^2 は，三角関数を用いて
ｘ＝ｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）
ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）
とパラメトライズされます．
ここで，
ｔ＝ｔａｎ（θ／２）
を使うと
ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）
ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）
と表示されますから，
ｘ＝（１−ｔ^4）／（１＋６ｔ^2＋ｔ^4）
ｙ＝２ｔ（１−ｔ^2）／（１＋６ｔ^2＋ｔ^4 ）
のようにパラメトライズすることができます．
（その４）では
ｓｉｎθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）
ｃｏｓθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）
とおいて，
ｘ＝ｔ（１＋ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）
ｙ＝ｔ（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）
とパラメトライズしたわけですから，パラメトライズの仕方は１通りではありません．
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次に，もう一つ別のパラメトライズをみてみましょう．レムニスケートは４次曲線ですが，原点（０，０）が有理点ですから，ｙ＝ｍｘとおくことによってパラメータ表示の形に書くことができます．
（１＋ｍ^2）^2ｘ^4＝（１−ｍ^2）ｘ^2
ｘ＝（１−ｍ^2）^1/2／（１＋ｍ^2）
ｙ＝ｍ（１−ｍ^2）^1/2／（１＋ｍ^2）
ｍ＝ｔａｎθですから，ｔ＝ｔａｎ（θ／２）を使うと
ｍ＝２ｔ／（１−ｔ^2）
ｘ＝（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2
ｘ＝２ｔ（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2（１−ｔ^2）
と置き換えることもできます．
あるいは，ｒ^4＝ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^2θより，
ｘ＝ｒｃｏｓθ＝ｃｏｓθ（ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^2θ）^1/4
ｙ＝ｒｓｉｎθ＝ｓｉｎθ（ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^2θ）^1/4
ここで，
ｔ＝ｔａｎ（θ／２）
ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）
ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）
ｒ＝（（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2）^4
を使って置き換えることもできるでしょう．すると
ｘ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）・（（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2）^4
ｙ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）・（（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2）^4
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【３】中間曲線のパラメ−タ表示
レムニスケートではうまいパラメトライズの方法があったのですが，中間曲線ではどうでしょうか？
ｙ＝ｍｘとおくことによって
（２（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４ｘ^3＋３ｘ（ｘ^2＋ｙ^2））^2＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3
（２ｘ^6（１＋ｍ^2）^3−４ｘ^3＋３ｘ^3（１＋ｍ^2））^2＝ｘ^6（１＋ｍ^2）^3
（２ｘ^3（１＋ｍ^2）^3−１＋３ｍ^2））^2＝（１＋ｍ^2）^3
これはＸ＝ｘ^3に関する２次方程式ですから，Ｘ＝ｇ（ｍ）を解として
ｘ＝（ｇ（ｍ））^1/3
ｙ＝ｍ（ｇ（ｍ））^1/3
とパラメトライズできます．
あるいは，
ｒ^3＝ｃｏｓ^2（３／２θ）＝（４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＋１）／２
より，ｒを三角関数で表すと
ｒ＝（（４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＋１）／２）^1/3
ｘ＝ｒｃｏｓθ
ｙ＝ｒｓｉｎθ
ｒ＝（（４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＋１）／２）^1/3
に対して，
ｔ＝ｔａｎ（θ／２）
を使うと
ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）
ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）
より，
ｒ＝（３ｔ^2−１）^(2/3)／（１＋ｔ^2）
ｘ＝（１−ｔ^2）（３ｔ^2−１）^(2/3)／（１＋ｔ^2）^2
ｙ＝２ｔ（３ｔ^2−１）^(2/3)／（１＋ｔ^2）^2
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