オイラーは円からの類推を用いて，

　　1/(1-t^3)^(1/2)

　　1/(1-t^4)^(1/2)

　　1/(1-t^6)^(1/2)

に対する一般積分を見いだしているのですが，

　　1/(1-t^5)^(1/2)

に対しては結果が得られなかったようです．

　また，ガウスは１７９６年に

　　u=F(x)=∫(0,x)1/(1-t^3)^(1/2)f(t)dt

の逆関数，その翌年には

　　u=F(x)=∫(0,x)1/(1-t^4)^(1/2)f(t)dt

の逆関数について考察しています．後者はレムニスケートサイン関数の定義につながるものであったわけですが，今回のコラムでは前者について考えてみることにしましょう．

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【１】1/(1-t^3)^(1/2)

　　∫1/(1-x^2)^(1/2)dx

は円（２次曲線），

　　∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

はレムニスケート（４次曲線）に対応していますが，周長が

　　∫1/(1-x^3)^(1/2)dx

　　∫1/(1-r^3)^(1/2)dx

で表される曲線はどのようなものになるでしょうか？

　この円と双葉の中間に位置する幾何学的対象物は，微分方程式

　　(1+(dy/dx)^2)^(1/2)=1/(1-x^3)^(1/2)

　　dy/dx=(x^3/(1-x^3))^(1/2)

あるいは

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=1/(1-r^3)^(1/2)

　　dθ/dr=(r/(1-r^3))^(1/2)

を満たさなければなりませんが，このことから１２次曲線

　　ｒ^(3/2)＝ｃｏｓ（３／２θ）

が得られます．

　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ

　　ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

　　ｃｏｓ^2（３θ／２）＝（１＋ｃｏｓ３θ）／２＝（４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＋１）／２

ですから

　　２ｒ^3−１＝４ｘ^3／ｒ^3−３ｘ／ｒ

　　２ｒ^6−ｒ^3＝４ｘ^3−３ｘｒ^2

　　（２ｒ^6−４ｘ^3＋３ｘｒ^2）^2＝ｒ^6

　　（２（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４ｘ^3＋３ｘ（ｘ^2＋ｙ^2））^2＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3　→　１２次曲線（３次曲線ではありません！）

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【２】中間曲線の２等分？

　レムニスケートでは

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=2･dw/(1-w^4)^(1/2)

なる変数変換により２等分できることがわかるが，この半三つ葉型の「中間曲線」ではどうなるのだろうか？

　　ｔ^3/2＝２ｖ^3/2／（１＋ｖ^3）

　　ｔ^3＝４ｖ^3／（１＋ｖ^3）^2

と置換すると

　　(1-t^3)^(1/2)=(1-v^3)/(1+v^3)

　　3t^2dt=12v^2(1-v^3)dv/(1+v^3)^3

より

　　dt/(1-t^3)^(1/2)=(2/(1+v^3))^(2/3)dv

　さらに，

　　ｖ^3/2＝２ｗ^3/2／（１−ｗ^3）

　　ｖ^3＝４ｗ^3／（１−ｗ^3）^2

と置換すると

　　(1+v^3)^(3/2)=(1+w^3)^3/(1-w^3)^3

　　3v^2dv=12w^2(1+w^3)dv/(1-w^3)^3

より

　　dt/(1-t^3)^(1/2)=(2/(1+v^3))^(2/3)dv=2^(4/3)･dw/(1-w^6)^(1/3)

となって，これらの置換を行った結果では２等分できないことがわかる．

　レムニスケートは定規とコンパスだけで２^n等分（さらに奇数のｎ等分，ｎ＝３，５，１７，２５７，６５５３７）できるいかに特殊な曲線であるのか，おわかりいただけるであろう．

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