今回のコラムでは（その１）で紹介したファニャーノの倍角公式（１７１８年）を振り返ってみることにします．

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【１】レムニスケートのパラメータ表示

　原点を中心とする半径１の円の円周上の点を（ｘ，ｙ）とすれば，第３の変数θを媒介として，ｘ＝ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθと表されます．θは（ｘ，ｙ）と（０，０），θ／２は（ｘ，ｙ）と（−１，０）を結ぶ直線とｘ軸とのなす角を表しています．

　さらにｔ＝ｔａｎ（θ／２）とすると

　　ｔａｎ（θ／２）＝ｓｉｎθ／（１＋ｃｏｓθ），

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）より，

　　ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

　　ｙ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）　　　（−１≦ｔ≦１）

と表すことができます．

　また，ａ＝１／√２のとき，レムニスケート：ｒ^2 ＝ｃｏｓ２θ，（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝ｘ^2 −ｙ^2 は，

　　ｘ＝ｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

　　ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

ここで，

ｓｉｎθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

ｃｏｓθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

とおくと，

　　ｘ＝ｔ（１＋ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）

　　ｙ＝ｔ（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）

のようにパラメトライズすることができます．

［補］なお，三角関数の有理関数の積分はｔ＝ｔａｎ（θ／２）とおくと有理関数の積分に帰着できることはほとんどの教科書に書かれていますが，うまくｔａｎθ，ｃｏｓ^2θ，ｓｉｎ^2θだけの関数に書き表すことができる場合には，ｔａｎθ＝ｔとおくことによって三角関数の有理関数の積分計算は格段と簡単になります．この場合，ｃｏｓ^2θ＝１／（１＋ｔ^2），ｓｉｎ^2θ＝ｔ^2／（１＋ｔ^2）となりますから，ｔａｎ（θ／２）＝ｔとおいた場合に比べ，次数が約半分の有理関数になります．

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【２】ファニャーノの変数変換

　　f(t)=1/(1-t^2)^(1/2)

　　2u=2∫(0,x)f(t)dt

において，ｔ＝２ｖ／（１＋ｖ^2）と置換すると

　　(1-t^2)^(1/2)=(1-v^2)/(1+v^2)

　　dt=2(1-v^2)dv/(1+v^2)^2

より

　　dt/(1-t^2)^(1/2)=2･dv/(1+v^2)

　レムニスケート

　　f(t)=1/(1-t^4)^(1/2)

　　2u=2∫(0,x)f(t)dt

においても類似の置換に導かれて，ｔ^2＝２ｖ^2／（１＋ｖ^4）と置換すると

　　(1-t^4)^(1/2)=(1-v^4)/(1+v^4)

　　2tdt=4v(1-v^4)dv/(1+v^4)^2

より

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=√2･dv/(1+v^4)^(1/2)

　さらに，ｖ^2＝２ｗ^2／（１−ｗ^4）と置換すると

　　(1+v^4)^(1/2)=(1+w^4)/(1-w^4)

　　2vdv=4w(1+w^4)dv/(1-w^4)^2

より

　　dv/(1+v^4)^(1/2)=√2･dw/(1-w^4)^(1/2)

　これらの置換を行った結果，ファニャーノは

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=2･dw/(1-w^4)^(1/2)

　　t^2=4w^2(1-w^4)/(1+w^4)^2

であることを見いだします．これに対応する積分間での関係がファニャーノの倍角公式

　　2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4))f(t)dt

というわけです．

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【３】レムニスケート弧長の４等分

　ファニャーノはレムニスケートの四半弧を同じ長さの２つの弧へ分解することができることを示しました．これによって，２^n倍あるいは１／２^n倍に対する公式も導かれます．

　レムニスケートの４半弧を定規とコンパスで２等分できることを示すために，

　　sl(u)=2sl(u/2)(1-sl^4(u/2))^1/2/(1+sl^4(u/2))

において，sl(u/2)=v,sl(u)=1とおくことにします．すると，

　　v^8+4v^6+2v^4-4v^2+1=0

　　(v^4+1/v^4)+4(v^2-1/v^2)+2=0

　さらにまた，v^2-1/v^2=wとおくと，

　　w^2+4w+4=0よりw=-2

より，v=(-1+√2)^1/2=0.643594

　奇数ｎ＝２ｍ＋１に対して，ｎ次方程式ｘ^n−１＝０は新しい変数としてｙ＝ｘ＋１／ｘをとることによって方程式の次数をｍ＝（ｎ−１）／２次に減らせた方程式に帰着されますが，この公式でも同様にｙ＝ａｘ＋ｂ／ｘとおくことによって求めたのでした．

　もう一度この手続きを繰り返すと，４半角公式も導かれます．

　　a^2v^8+4v^6+2a^2v^4-4v^2+a^2=0,a=(-1+√2)^1/2

　　(v^4+1/v^4)+4/a^2(v^2-1/v^2)+2=0

v^2-1/v^2=wとおくと，

　　w^2+4/a^2w+4=0よりw=-2/a^2･(1+(1-a^4)^1/2)=b

より，v=((b+√(b^2+4))/2)^1/2

ここで，c=1+√2,d=c^2-1とおくと

　　v=(-c+(2c)^1/2+(2d+3d/c^1/2)^1/2)^1/2=0.327379

　この式は平方根だけを含む式なので幾何学的に作図できる方法になっています．

　さらに，ファニャーノは倍角公式，４倍角公式によって得られるものに置き換えて，レムニスケートの四半弧の３等分あるいは５等分を与える代数方程式を導いているのですが，これについてはまた回を改めて紹介したいと思います．

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