今回のコラムでは２元ｎ次形式の判別式，不変式とｎ元２次形式の最小値に関する話題を集めてみました．
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【１】２元２次形式
Ｐ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2 （Ｄ＝ｂ^2−ａｃ）
を線形変換
［ｘ］＝［α，β］［ｘ’］
［ｙ］＝［γ，δ］［ｙ’］
すると
Ｐ’＝ａ’ｘ’^2＋２ｂ’ｘ’ｙ’＋ｃ’ｙ’^2 （Ｄ’＝ｂ’^2−ａ’ｃ’）
Ｄ’＝ｒ^2Ｄ，ｒ＝αδ−βγ
となる．ここで，判別式Ｄは特別な仕方で変化する量（Ｄ’＝ｒ^2Ｄ）であって，もしｒ^2＝１ならば変化しない不変式である．
ｘ^2＋ｙ^2は４ｎ＋１型素数をすべて表現し，どの４ｎ＋３型素数も表現しない．２平方和定理は「４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」であるが，フェルマーはまた，
「ｐが８で割ると１または３余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2」
「ｐが８で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2」
「ｐが３で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2」
となる自然数ｘ，ｙが存在することを発見した．ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2，・・・などの発見は，類体論の序曲をなすものといえる．
一般に
Ｎ＝ｘ^2±Ｄｙ^2
によって表現される数Ｎの約数ｐは，同一の判別式Ｄをもつ
ｐ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2 （Ｄ＝ｂ^2−ａｃ）
によって表現されることから，ｘ^2±Ｄｙ^2を主形式と呼ぶ．
［補］方程式ｘ^2＋ｙ^2＝ｎの整数解の個数は，ｎの４ν＋１型の約数の個数と４ν＋３型の約数の個数との差の４倍に等しい．方程式ｘ^2＋２ｙ^2＝ｎの整数解の個数は，ｎの８ν＋１型または８ν＋３型の約数の個数と８ν＋５型または８ν＋７型の約数の個数との差の２倍に等しい
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【２】２元ｎ次形式
Ｐ＝ａｘ^3＋３ｂｘ^2ｙ＋３ｃｘｙ^2＋ｄｙ^3
の最も簡単な不変式は
Ｆ＝３ｂ^2ｃ^2＋６ａｂｃｄ−４ｂ^3ｄ−４ａｃ^3−ａ^2ｄ^2
であるが，これはヘシアン
Ｈ＝［∂^2Ｐ／∂^2ｘ，∂^2Ｐ／∂ｘ∂ｙ］
［∂^2Ｐ／∂ｙ∂ｘ，∂^2Ｐ／∂^2ｙ］
に定数倍を除いて等しい．
ヘッセは２元ｎ次形式に対して，２階偏微分行列式（ヘシアン）が不変式となることを示した．
また，
Ｐ＝ａｘ^4＋４ｂｘ^3ｙ＋６ｃｘ^2ｙ^2＋４ｃｘｙ^3＋ｅｙ^4
の判別式は
Ｄ＝ｇ2^3−２７ｇ3^2
ｇ2＝ａｅ−４ｂｄ＋３ｃ^2
［ａ，ｂ，ｃ］
ｇ3＝［ｂ，ｃ，ｄ］
［ｃ，ｄ，ｅ］
で与えられる．
２元ｎ次形式の不変式について書き下すことができるのはせいぜい７次元くらいまでである．
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【３】正定値ｎ元２次形式の最小値の上界
ガウスは正定値２元２次形式
Ｐ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2 （ｘ，ｙは整数）
に座標軸のなす角の余弦がｂ／√ａｃのとき，ある点Ｐと原点との距離の２乗であるという幾何学的解釈を与えている．これにより全平面は平行四辺形の格子に分割され，Ｄ＝｜ｂ^2−ａｃ｜は基本平行四辺形の面積の２乗に等しくなる．３元２次形式の場合は，平行四辺形は平行六面体に置き換えられる．
Ｐ＝Σａijｘiｘj （ａji＝ａij）
［ａ11，ａ12，・・・，ａ1n］
Ｄ＝［ａ21，ａ22，・・・，ａ2n］
［・・・・・・・・・・・・］
［ａn1，ａn2，・・・，ａnn］
与えられた判別式Ｄをもつ正定値ｎ元２次形式Ｐにおいて，係数を連続的に変化させると最小値もまた連続的に変化する．エルミートは正定値ｎ元２次形式の最小値の上界が（４／３）^(n-1)/2Ｄ^1/nであることを示し，さらに２（Ｄ／（ｎ＋１））^1/nで置き換えられるであろうと予想した．
コルキンとゾロタレフはこれよりも最小上界に近い他の上界を得ている．
ｎ＝２ → （４Ｄ／３）^1/2
ｎ＝３ → （２Ｄ）^1/3
ｎ＝４ → （４Ｄ）^1/4
ｎ＝５ → （８Ｄ）^1/5
その後，ブリヒフェルトが
ｎ＝６ → （３Ｄ／６４）^1/6
ｎ＝７ → （６４Ｄ）^1/7
ｎ＝５ → （２Ｄ）^1/8
を証明した．
［補］極大格子
ｎ ルート 最小距離 球充填密度
１ １ １
２ Ａ2 4√（４／３） ＝１．０７５ ０．９０６
３ Ａ3 6√２ ＝１．１２２ ０．７４０
４ Ｄ4 8√４ ＝１．１８９ ０．６１９
５ Ｄ5 10√８ ＝１．２３１ ０．４６５
６ Ｅ6 12√（６４／３）＝１．２９０ ０．３７３
７ Ｅ7 14√６４ ＝１．３４６ ０．２９５
８ Ｅ8 √２ ＝１．４１４ ０．２５４
［補］最密球充填
ｎ ルート 球充填密度
２ Ａ2 π／２√３＝０．９０６（ラグランジュ1773，ガウス1831）
３ Ａ3 π／３√２＝０．７４０（ガウス1831）
４ Ｄ4 π^2／１６＝０．６１７（Korkine,Zolotareff,1872）
５ Ｄ5 π^2／１５√２＝０．４６５（Korkine,Zolotareff,1877）
６ Ｅ6 π^3／４８√３＝０．３７３（Blichfeldt,1925）
７ Ｅ7 π^3／１０５＝０．２９５（Blichfeldt,1926）
８ Ｅ8 π^4／３８４＝０．２５４（Blichfeldt,1934）
［補］最疎球被覆
ｎ ルート 球被覆密度
２ Ａ2~ ２π／√２７＝１．２０９（Kershner,1939）
３ Ａ3~ ５√５π／２４＝１．４６４（Bambah,1954）
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【４】数の幾何学とミンコフスキーの格子点定理
ミンコフスキーはアインシュタインの先生として有名で，相対論における基本概念はミンコフスキーにその起源をたどることができます．また，彼はｎ元２次形式を考え，与えられた判別式をもつｎ元２次形式の最小値に対する上界Ｍが
Ｍ＜ＡnＤ^1/n （Ａn＝４（Γ(n/2+1)）^2/n／π）
で与えられることを証明しました．この結果はエルミートのものより精密です．ガンマ関数の漸近表示を用いれば
Ｍ＜２ｎ√ｎπｅ^1/3n／πｅ・Ｄ^1/n〜０．２３４ｎ√ｎπｅ^1/3n・Ｄ^1/n
このように，２次形式の理論が発展していく段階ではミンコフスキーが非常に大きな貢献をしています．彼は数論家として出発しましたが，研究を進めるにしたがって次第に幾何学に興味を惹かれるようになり，幾何学的方法を用いて数論を研究する「数の幾何学」と呼ばれる新しい数学分野を打ち立てました．格子点定理が数の幾何学の基礎となっているのですが，格子点定理は次のように述べることができます．
「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」
この定理は非常に単純であるにもかかわらず，他の方法では解決することのできなかった数論における多くの問題を解明したのですが，格子点定理を用いると，初等的な定理，たとえば，
「４ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋ｙ^2の形に書ける」
「６ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋３ｙ^2の形に書ける」
「８ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋２ｙ^2の形に書ける」
なども証明することができます．格子点の幾何学はミンコフスキーの「数の幾何学」に端を発するのです．
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【５】ディリクレ・ボロノイ領域
最後に，２次元・３次元格子状配置のディリクレ領域と結晶の対称性の群についても触れておこう．１次元格子は直線上に等間隔に並んだ点の集合であり，すべての１次元格子は点の間隔が違うだけで，本質的には同じものである．しかし，２次元格子には基本的な種類が２つある．ひとつは等間隔に並んだ横列の各点の真上に他の横列の点があるもので，もうひとつは横列の点を水平方向にずらしたものである．すなわち，２次元格子の形は平行四辺形（正方形，長方形，菱形を含む）になるが，その格子点の各点に対して垂直二等分線を引くと，すべて合同なディリクレ領域ができる．また，どのような２次元格子であっても，そのディリクレ領域は４角形あるいは６角形になる．
無限に多くの２次元格子があるが，その対称性を考えると，本質的な配置は，正方形，長方形，菱形，二等辺三角形あるいは正三角形を２つ貼り合わせた平行四辺形状配置の５つしかない．それに対応するディリクレ領域も，正方形，長方形，切頂菱形（ソロバン珠型），長６角形（亀甲型），正６角形の５種類に限られることになる．
ディリクレ領域の概念は３次元にも一般化できる．２次元格子は５種類だったが，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類ある．そして，これから決まる本質的なディリクレ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体−−しかない．
平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致している．平行多面体は結晶構造と深く関係していて，これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以である．
３次元においては５種類の平行多面体が存在する（フェドロフの平行多面体）のであるが，ボロノイは結晶学的・幾何学的観点からでなく，数論の問題として正定値２次形式の格子点に最も近い空間の点の集合を対応づけ，平行多面体を構成するアルゴリズムを与えた．
与えられたｎに対して，平行多面体は有限個しか存在しないことになるが，４次元では３次元の５種類から５２種類へと急増する．５次元格子では膨大な数になるのでリストアップはいまでも完成していない．
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