■4次元の雪,5次元の雪,6次元の雪,・・・(その30)
Dnの対称性は半立方体(hemicube)と関係しているが,それに対して,Enの対称性は正単体と正軸体と関係している.
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シュレーフリは4次元シュレーフリ関数S(x,y,z)を拡張して,
Fn(α)=f(α,π/3,π/3,・・・)
Gn(β)=f(β,π/4,π/3,・・・)
と定義しました.
α=1/2・arcsec(n−1)のとき,Fn(α)=0
β=arcsec√(n−1)のとき,Gn(β)=0
二胞角2αの球面正単体から得られる楔状体の体積→n!Fn(α)
二胞角2βの球面正軸体から得られる楔状体の体積→2^n-1(n−1)!Gn(β)
Fn+1(θ)=2/π∫(1/2arcsec(n),θ)Fn-1(φ)dθ
Gn+1(θ)=2/π∫(2arcsec(√n),θ)Fn-1(φ)dθ
正八面体の3つの基本単体が正八面体の1/16を作るのは,
(E3)=F3(ρ)+2G3(σ)
で表されるが,n<9のとき,
(En)=Fn(ρ)+2Gn(σ)
ということになる.
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