【１】シュレーフリ関数Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）

　ここでは，ｎ＝４の場合についてのシュレーフリの計量的な方法について説明しますが，３次元の基本単体を，４次元の中心Ｏから単位球面上に射影した図形の球面積を求めれば，それで全球面積４ｖ4＝２π^2を割って，４次元の基本単体の個数がでます．（一般に，ｎ次元超球の（ｎ−１）次元表面積はｎｖnで与えられます．）

　３次元の重直角四面体ＡＢＣＤの対面を１，２，３，４で表し，面ｉと面ｊの間の二面角を（ｉ，ｊ）で表します．そして，

　　（１，３）＝（１，４）＝（２，４）＝π／２　　（隣接していない）

　　（１，２）＝α，（２，３）＝β，（３，４）＝γ　　（隣接している）

とおきます．

　これを４次元の超球面に射影し，ＡＢＣＤＯが４次元正多面体の１つの基本単体であるときには，

　　α＝π／ｐ，β＝π／ｑ，γ＝π／ｒ

で，これが実空間内に作られる条件は，前述したように

　　ｓｉｎ^2αｓｉｎ^2γ＞ｃｏｓ^2β

となります．

　シュレーフリはこの単位球面上の超球面四面体ＡＢＣＤを４次元の全球面の面積２π^2と合わせるために，

　　π^2ｆ（α，β，γ）／８

とおきました．

　関数ｆ（α，β，γ）は，α，β，γについて微分すると，そのときの微小変化量ｄｆは２次元の球面上の三角形の面積に比例し，それは角過剰（内角の和−π）に比例するわけですから，

　　π^4／４ｄｆ＝ａｒｃｃｏｓ｛ｓｉｎαｃｏｓγ／（ｓｉｎ^2α−ｃｏｓ^2β）^(1/2)｝ｄα

　　　　　　　　＋ａｒｃｃｏｓ｛ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγ／｛（ｓｉｎ^2α−ｃｏｓ^2β）（ｓｉｎ^2γ−ｃｏｓ^2β）^(1/2)｝｝ｄβ

　　　　　　　　＋ａｒｃｃｏｓ｛ｓｉｎγｃｏｓα／（ｓｉｎ^2γ−ｃｏｓ^2β）^(1/2)｝ｄγ

となるような級数を考えます．

　　ｓｉｎαｃｏｓγ／（ｓｉｎ^2α−ｃｏｓ^2β）^(1/2)

のような引数の形は，直角三角形の性質に基づいています．

　実際の計算では，コクゼターがやったようにαとγをその余角に修正した関数

　　Ｓ（α，β，γ）＝π^2ｆ（π/2-α，β，π/2-γ）／２

としたほうが便利のようです．

　そこで，あらためてシュレーフリ関数を

　　Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ΣＸ^n／ｎ^2（ｃｏｓ２ｎｘ−ｃｏｓ２ｎｙ＋ｃｏｓ２ｎｚ−１）−ｘ^2＋ｙ^2−ｚ^2

　　Ｘ＝（Ｄ−ｓｉｎｘｓｉｎｚ）／（Ｄ＋ｓｉｎｘｓｉｎｚ）

　　Ｄ＝（ｃｏｓ^2ｘｃｏｓ^2ｚ−ｃｏｓ^2ｙ）^(1/2)

と定義します．

　　ｄＳ＝ΣＸ^n／ｎ（ｃｏｓ２ｎｘ−ｃｏｓ２ｎｙ＋ｃｏｓ２ｎｚ−１）ｄｌｏｇＸ

　　　　−２ΣＸ^n／ｎ（ｓｉｎ２ｎｘｄｘ−ｓｉｎ２ｎｙｄｙ＋ｓｉｎ２ｎｚｄｚ）

　　　　−２（ｘｄｘ−ｙｄｙ＋ｚｄｚ）

ですが，ここでフーリエ級数の公式

　　Σｔ^n／ｎ（ｃｏｓ２ｎｕ）＝−１／２ｌｏｇ（１−２ｔｃｏｓ２ｕ＋ｔ^2）

　　Σｔ^n／ｎ（ｓｉｎ２ｎｕ）＝ａｒｃｔａｎ（（１＋ｔ）／（１−ｔ）ｔａｎｕ）−ｕ

より，

　　−１／２ｄＳ＝ａｒｃｃｏｓ｛ｃｏｓｘｓｉｎｚ／（ｃｏｓ^2ｘ−ｃｏｓ^2ｙ）^(1/2)｝ｄｘ

　　　　　　　　＋ａｒｃｃｏｓ｛ｓｉｎｘｃｏｓｙｓｉｎｚ／｛（ｃｏｓ^2ｘ−ｃｏｓ^2ｙ）（ｃｏｓ^2ｚ−ｃｏｓ^2ｙ）^(1/2)｝｝ｄｙ

　　　　　　　　＋ａｒｃｃｏｓ｛ｓｉｎｘｃｏｓｚ／（ｃｏｓ^2ｚ−ｃｏｓ^2ｙ）^(1/2)｝ｄｚ

となって，

　　Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）＝π^2ｆ（π/2-α，β，π/2-γ）／２

を得ることができます．

　しかし，その値を与える式は書けるものの，その中の積分が初等関数の範囲では計算できません．それでも有限個の（ｐ，ｑ，ｒ）の特別な組に対する定積分の値は理論的に求めることができていて，たとえば，

　　Ｓ（π／６，π／３，π／６）＝π^2／１５

　　Ｓ（π／６，π／４，π／６）＝π^2／４８

　　Ｓ（π／６，π／４，π／６）＝π^2／１４４

　　Ｓ（３π／１０，π／３，π／６）＝π^2／１８００

　４次元正単体（３，３，３）の場合，α＝β＝γ＝π／３ですから，

　　Ｓ（π／６，π／３，π／６）＝π^2／１５

となります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝