高次元の正多面体群について，コクセターはｎ次元ユークリッド空間の反転によって生成される群の研究を進め，コクセター群とよばれる一連の群について詳しく研究した．

　詳細については

　　一松信「高次元の正多面体」日本評論社

をご覧頂きたいのであるが，ｎ次元ユークリッド空間の変換群で，その基本領域が単体（正多胞体の基本単体）になるものの決定である．

　正多面体群とリー群との関連では，ｎ次元の正単体群はＡn，超立方体群はＢnまたはＣn，３次元の正二十面体群はＨ3（Ｇ3），４次元の正２４胞体群はＦ4，４次元の正６００胞体群はＨ4（Ｇ4）と関連している．

　　・−・・・・・−・　　（Ａn：ｎ≧２のとき位数２の自己同型がある）

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　　　　　　　　　／

　　・−・・・・・　　　　（Ｄn：ｎ≧４のとき位数２の自己同型がある）

　　　　　　　　　＼

　　　　　　　　　　・

　　　　　　３

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　　１−２　　　　（Ｄ4：位数３の自己同型がある）

＼

　　　　　　４

　　　　　　４

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　　１−２−３−５−６　　（Ｅ6：位数２の自己同型がある）

　　１＝２　（Ｂ2）　　１≡２　（Ｇ2）　　１−２＝３−４　（Ｆ4）

　　１≡２−３　（Ｈ3）　　１≡２−３−４　（Ｈ4）

　ここで，Ｈ3（Ｇ3），Ｈ4（Ｇ3）はＧ2に１個または２個の節点をつないだグラフであり，単純リー群では許されない形である（拡張されたディンキン図形）．また，例外群はＤn，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8のいずれかの形になることが示されている．

　ユークリッド空間の有限群（正多面体）または無限離散群（空間充填形）になるのは，４つの無限系列（Ａn，Ｂn，Ｃn，Ｄn）と６つの例外的な場合（Ｇ3，Ｆ4，Ｇ4，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8）に限るのである．

　単独で空間を充填する平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）である．それに対して，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密正則胞体充填構造は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られている．

　正２４胞体に相当する３次元正多面体はない．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからである．実は２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であって，例外中の例外といってもよいものなのであるが，この正２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られている．

　正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているらしく，この点もまた注目すべきものである．

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