正多面体の各面を正ｐ角形，各頂点にｑ面が会するとすると，頂点の周囲は４直角未満ですから，不等式

　　２ｑ（１−２／ｐ）＜４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　（ｐ−２）（ｑ−２）＜４

が正多角形となる必要条件です．

　このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します．

　すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solid）とも呼ばれています．そこで，・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（問）５種類のプラトンの立体のうち，どの隣接する２面も同じ色でないように，黒と白の市松模様に塗ることができるのはどれか？

（ヒント）これが可能なためには，１つの頂点で偶数の面が交わらなければならない．すなわち，ｑは偶数．

（答）正八面体

　立方体，正二十面体は３色で塗り分けることができるが，正四面体，正十二面体では３色では塗り分けることができず，４色必要になる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（問）正Ｆ面体をＦ色で塗り分ける方法は何通りあるか？　ただし，回転して同じになるものは１通りと数える．

（ヒント）回転して同じになるものはｐＦ＝ｑＶ＝２Ｅ通りある．

（答）Ｆ面の塗りわけはＦ！通り．回転して同じになるものは２Ｅ通りあるから，

　　Ｆ！／２Ｅ通り

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝