【１】正八面体の１／１６

　１辺の長さ２の正八面体を考える．

　　Ｐ0（０，０，０）＝Ａ

　　Ｐ1（１，０，０）＝Ｂ

　　Ｐ2（１，１，０）＝Ｃ

　　Ｐ3（１，１，√２）＝Ｄ

　　Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）はＢＤ上の点で，ＣＥ⊥ＢＤであるから，

　　ｘ＝１，ｙ／１＝ｚ／√２

　（ｘ−１，ｙ−１，ｚ）⊥（０，１，√２）

　　ｙ−１＋√２ｚ＝０

　　ｚ（１／√２＋√２）＝１，ｚ＝√２／３，ｙ＝１／３

　　Ｅ（１，１／３，√２／３）

　　Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）はＡＤ上の点で，ＣＦ⊥ＡＤであるから，

　　ｘ／１＝ｙ／１＝ｚ／√２

　（ｘ−１，ｙ−１，ｚ）⊥（１，１，√２）

　　ｘ−１＋ｙ−１＋√２ｚ＝０

　　ｚ（２√２）＝２，ｚ＝√２／２，ｘ＝ｙ＝１／２

　　Ｆ（１／２，１／２，√２／２）

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［１］∠ＡＥＢ

　　（−１，−１／３，−√２／３）と（０，−１／３，−√２／３）

の内積を考えると

　　（１／３）／｛１＋１／３｝^1/2｛１／３｝^1/2

＝１／２→∠ＡＥＢ＝π／３

［２］∠ＡＥＦ

　　（−１，−１／３，−√２／３）と（−１／２，１／６，√２／６）

の内積を考えると

　　（１／２−１／１８−２／１８）／｛１２／９｝^1/2｛１２／３６｝^1/2

＝１／２→∠ＡＥＦ＝π／３

［３］∠ＤＥＦ

　　（０，２／３，２√２／３）と（−１／２，１／６，√２／６）

の内積を考えると

　　（２／１８＋４／１８）／｛１２／９｝^1/2｛１２／３６｝^1/2

＝１／２→∠ＤＥＦ＝π／３

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［まとめ］非常にきれいな結果で，コクセターの直観を感じさせてくれる．

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