（ｘ，ｙ）＝（ｆ（ｕ），ｆ’（ｕ））
とパラメトライズされる曲線について考えてみよう．もしf(u)=sin(u)ならば，x=sin(u),y=cos(u)であるから，この曲線はx^2+y^2=1（円）になる．サイクロイド：ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）もその例である．（サイクロイドの伸開線はそれと合同なサイクロイドである．対数らせんの伸開線もそれと合同な対数らせんになる．）
円は代数曲線であるが，サイクロイドは代数曲線ではない．また，
（ｘ，ｙ）＝（ｆ（ｕ），ｆ’（ｕ））
とパラメトライズされる代数曲線は円だけではなく，楕円曲線もその例となっている．今回のコラムでは楕円積分の倍角公式を取りあげることにしたい．
なお，周期２π，平均が０の周期関数ｆに対して，
∫(0,2π)ｆ’^2≧∫(0,2π)ｆ^2 （ヴィルティンガーの不等式）
が成立する．
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【１】円積分の倍角公式
円の４分の１周の長さを求めるのに，y=(1-x^2)^(1/2)に対し，
∫(0,1)(1+(dy/dx)^2)^(1/2)dx
を計算すると，これは
∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx
となります．そこで
f(x)=1/(1-x^2)^(1/2)
2∫(0,1)f(x)dx=3.141592･･･=π
となり，これをπの定義とし，完全円積分と呼ぶことにします．
F(z)=∫(0,z)f(x)dxは不完全円積分ですが，これから円関数（三角関数）を
sinω=F^(-1)(ω),cosω=F^(-1)(π/2-ω)
と定義すると，逆正弦関数
sin^(-1)x=∫(0,x)f(t)dt=u
が得られます．
2u=2∫(0,x)f(t)dt
ですが，三角関数の倍角の公式（あるいは加法定理）
sin2u=2sinucosu=2sinu(1-sin^2u)^1/2=2x(1-x^2)^1/2
より，
2u=sin^(-1)(2x(1-x^2)^1/2)
したがって，
2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^2)^1/2)f(t)dt
２Ｇ（ｘ）＝Ｇ（２ｘ（１−ｘ^2）^1/2）
が成り立ちます．
2x(1-x^2)^1/2はｘから四則演算および平方根により得られますので，この式は定規とコンパスだけで円弧長を２倍にする作図が可能であることを示しています．
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【２】レムニスケート積分の倍角公式
ベルヌーイはレムニスケートの弧長を
f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)
u=F(x)=∫(0,x)f(t)dt
と表しました．これがレムニスケート積分と呼ばれる典型的な楕円積分です．また，
∫(0,1)f(t)dt=1.311028･･･=ω
とおくと，4ωがレムニスケートの全長になります．円に類比すると，レムニスケートの定数（レムニスケート周率）ωは円に対する円周率πと同じ役割を演じていることになります．
F(x)の逆関数であるレムニスケートサインsl(u)も周期4ωをもつことがわかります．レムニスケートサインを求めてみることにしましょう．実際に1/(1-x^4)^(1/2)を２項展開し，さらに項別積分すると
F(x)=x+1/10x^5+1/24x^9+5/208x^16+･･･
この逆関数のべき級数展開は
sl(u)=u-1/10u^5+1/120u^9+11/15600u^13+･･･
=u(1-1/10u^4+1/120u^8+･･･)
=ug(u^4)
となります．
円積分では
x=sinu，f'(u)=dx/du=1/du/dx=(1-x^2)^1/2=y(=cosu=sin'u)
よりｘ，ｙはともにパラメータｕの関数になりましたが，レムニスケート積分でもx=sl(u),y=sl'(u)はともにパラメータｕの関数になり，曲線ｙ^2＝１−ｘ^4はx=sl(u),y=sl'(u)によってパラメータ表示できます．
ここで，sl(2u)をsl(u)の関数として表せればよいことになるのですが，レムニスケートサインの倍角の公式（あるいは加法定理）は
sl(u+v)=(sl(u)sl'(v)+sl(v)sl'(u))/(1+sl^2(u)sl^2(v))
sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))
sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2
sl(2u)=2sl(u)(1-sl^4(u))^1/2/(1+sl^4(u))=2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4)
のようになります．レムニスケートサインとその導関数が正弦関数とその導関数である余弦関数にいかに類似しているかわかるでしょう．
2u=sl^(-1)(2x(1-x^2)^1/2/(1+x^4))
したがって，レムニスケート積分の倍角公式
2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4))f(t)dt
２Ｇ（ｘ）＝Ｇ（２ｘ（１−ｘ^4）^1/2／（１＋ｘ^4））
が成り立ちます．
2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4)もｘから四則演算および平方根により得られますので，円同様，レムニスケートも定規とコンパスだけで弧長を２倍にする作図が可能であることを示しています．
１７５１年，オイラーは逆正弦関数の加法定理
Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（ｘ（１−ｙ^2)^1/2＋ｙ（１−ｘ^2)^1/2）
との類似に基づいて，レムニスケート積分に対する加法定理
Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2））
を構成することに成功しています．
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【３】ワイエルシュトラス積分の加法定理
３次曲線：ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3はワイエルシュトラスのペー関数：ｘ＝ｐ（ｕ），ｙ＝ｐ’（ｕ）によってパラメトライズされます．
ワイエルシュトラスのペー関数は１階の非線形微分方程式
（ｙ’）^2＝４ｙ^3−ｇ2ｙ−ｇ3
の解ですが，その逆関数は
Ｆ（ｘ）＝∫(0,x)ｄｔ／（４ｔ^3−ｇ2ｔ−ｇ3）^1/2
となります．
Ｆ’の逆数：ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3をとり，ｘとｙを交換するとｘ^2＝４ｙ^3−ｇ2ｙ−ｇ3ｙになりますから，このことからＦがｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3の逆関数であることがおわかり頂けるでしょう．
楕円積分
Ｆ（ｘ）＝∫(0,x)ｄｔ／（４ｔ^3−ｇ2ｔ−ｇ3）^1/2
は楕円関数の基礎として最も便利な積分であって，その加法定理
Ｆ（ｘ1）＋Ｆ（ｘ2）＝Ｆ（ｘ3）
において，ｘ3はＰ1（ｘ1，ｙ1），Ｐ2（ｘ2，ｙ2）を通る直線上の
ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3
を満たす点Ｐ3（ｘ3，ｙ3）のｘ座標
ｘ3＝−（ｘ1＋ｘ2）＋（（ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1））^2／４
となります．また，このことからＰ1，Ｐ2が有理点ならばＰ3も有理点であることがわかります．
この式は楕円関数ｆの加法定理を与える式でもあります．加法定理とはｆ（ｕ1＋ｕ2）をｆ（ｕ1）とｆ（ｕ2），ｆ’（ｕ1）とｆ’（ｕ2）を使って表す公式ですが，この場合，ｆ（ｕ1）＝ｘ1，ｆ（ｕ2）＝ｘ2，ｆ’（ｕ1）＝ｙ1，ｆ’（ｕ2）＝ｙ2に対して，ｘ3＝ｆ（ｕ1＋ｕ2）となる楕円関数によって，この３次曲線：ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3はｘ＝ｆ（ｕ），ｙ＝ｆ’（ｕ）とパラメトライズされます．ｘ3を求める操作＝パラメータｕ1，ｕ2の加法と解釈することができるというわけです．
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