完全数では，ｐおよび２^p−１が素数（メルセンヌ素数）でなければならないが，親和数の場合はどうだろうか？

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【１】ソフィー・ジェルマン素数

　　ｐ＝３・２^n-1−１

　　ｑ＝２ｐ＋１

　　ｒ＝ｐｑ＋ｐ＋ｑ＝（ｐ＋１）（ｑ＋１）−１

がすべて素数ならば，Ｍ＝２^nｐｑ，Ｎ＝２^nｒのペアは親和数になる．

　ｐが素数で，かつ，２ｐ＋１が素数であるから，ｐはソフィー・ジェルマン素数である．

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【２】カニンガムの鎖

　ｘが素数で，２ｘ＋１がまた素数となる数ｘをソフィー・ジェルマン素数という．８９はソフィー・ジェルマン素数であるがら，２倍して１を足した数１７９も素数である．

　　２・８９＋１＝１７９

　面白いことにこの数を２倍して１を足した数３５９も素数である．したがって，１７９もソフィー・ジェルマン素数である．

　　２・１７９＋１＝３５９

　さらに，この数を２倍して１を足した数７１９も素数であり，以下同様に６個の素数列ができあがる．８９（素数）→　　

　　２・８９＋１＝１７９　　　　　（素数）

　　２・１７９＋１＝３５９　　　　（素数）

　　２・３５９＋１＝７１９　　　　（素数）

　　２・７１９＋１＝１４３９　　　（素数）

　　２・１４３９＋１＝２８７９　　（素数）

　　２・２８７９＋１＝５７５９　　（非素数）

　このような素数列をカニンガムの鎖とよぶ．素数等差数列に対して「概等比数列」である．

　１１２２６５９→２２４５３１９→４４９０６３９→８９８１２７９→１７９６２５５９→３５９２５１１９→７１８５０２３９

は７個の素数からなるカニンガムの鎖である．

　８１０，４３３，８１８，２６５，７２６，５２９，１５９から始まるカニンガムの鎖は１６個の素数からなる．

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