２^nの約数の和は

　　１＋２＋４＋・・・＋２^n-1＝２^n－１

となって，自分自身よりちょうど１だけ小さい．その意味で，２^nは概完全数である．

　すべての偶数の完全数は

　　２^p-1（２^p－１）

で表される（ユークリッド）．　ただし，ｐおよび２^p－１が素数（メルセンス素数）でなければならない．

　２^p-1の自分自身を含む約数の和は

　　１＋２＋４＋・・・＋２^p-2＋２^p-1＝２^p－１

　（２^p－１）の自分自身を含む約数の和は

　　１＋２^p－１＝２^p

　したがって，２^p-1（２^p－１）の自分自身を含む約数の和は

　　（１＋２＋４＋・・・＋２^p-2＋２^p-1）（１＋２^p－１）＝２^p（２^p－１）

２^p-1（２^p－１）の自分自身を除く約数の和は

　　２^p-1（２^p－１）

になるというわけである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】イブン・クッラの公式

　　２^nａｂと２^nｃは親和数のペアである．

　　　ａ＝３・２^n－１（素数）

　　　ｂ＝３・２^n-1－１（素数）

　　　ｃ＝９・２^2n-1－１（素数）

　ａの自分自身を含む約数の和は，３・２^n

　ｂの自分自身を含む約数の和は，３・２^n-1

　ｃの自分自身を含む約数の和は，９・２^2n-1

　２^nａｂの自分自身を含む約数の和は

　　（１＋２＋４・・・＋２^n）・３・２^n・３・２^n-1

　＝（２^n+1－１）・９・２^2n-1

　２^nａｂの自分自身を除く約数の和は

　　（２^n+1－１）・９・２^2n-1－２^n（３・２^n－１）（３・２^n-1－１）

　＝（２^n+1－１）・９・２^2n-1－２^n｛９・２^2n-1－３・２^n－３・２^n-1＋１｝

　＝９・（２^3n－２^3n-1－２^2n-1）＋２^n｛３・２^n＋３・２^n-1－１｝

　＝９・２^2n-1（２・２^n－２^n－１）＋２^n｛６・２^n-1＋３・２^n-1－１｝

　＝９・２^2n-1（２^n－１）＋２^n｛９・２^n-1｝－２^n

　＝２^n｛９・２^2n-1－１｝＝２^nｃ

　２^nｃの自分自身を含む約数の和は

　　（１＋２＋４・・・＋２^n）・９・２^2n-1

　＝（２^n+1－１）９・２^2n-1

　２^nｃの自分自身を除く約数の和は

　　（２^n+1－１）９・２^2n-1－２^n｛９・２^2n-1－１｝

　＝９・２^3n－９・２^2n-1－９・２^3n-1＋２^n

　＝９・２^2n-1（２^n+1－２^n－１）＋２^n

　＝９・２^2n-1（２・２^n－２^n－１）＋２^n

　＝９・２^2n-1（２^n－１）＋２^n

　＝２^n（９・２^2n-1＋１）－９・２^2n-1

　＝２^n（９・２^2n-1＋１）－６・２^2n-1－３・２^2n-1

　＝２^n（９・２^2n-1＋１）－３・２^2n－３・２^2n-1

　＝２^n（９・２^2n-1－３・２^n－３・２^n-1＋１）＝２^nａｂ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝