２^nの約数の和は

　　１＋２＋４＋・・・＋２^n-1＝２^n−１

となって，自分自身よりちょうど１だけ小さい．その意味で，２^nは概完全数である．

　すべての偶数の完全数は

　　２^p-1（２^p−１）

で表される（ユークリッド）．　ただし，ｐおよび２^p−１が素数（メルセンス素数）でなければならない．

　２^p-1の自分自身を含む約数の和は

　　１＋２＋４＋・・・＋２^p-2＋２^p-1＝２^p−１

　（２^p−１）の自分自身を含む約数の和は

　　１＋２^p−１＝２^p

　したがって，２^p-1（２^p−１）の自分自身を含む約数の和は

　　（１＋２＋４＋・・・＋２^p-2＋２^p-1）（１＋２^p−１）＝２^p（２^p−１）

２^p-1（２^p−１）の自分自身を除く約数の和は

　　２^p-1（２^p−１）

になるというわけである．

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【１】イブン・クッラの公式

　　２^nａｂと２^nｃは親和数のペアである．

　　　ａ＝３・２^n−１（素数）

　　　ｂ＝３・２^n-1−１（素数）

　　　ｃ＝９・２^2n-1−１（素数）

　ａの自分自身を含む約数の和は，３・２^n

　ｂの自分自身を含む約数の和は，３・２^n-1

　ｃの自分自身を含む約数の和は，９・２^2n-1

　２^nａｂの自分自身を含む約数の和は

　　（１＋２＋４・・・＋２^n）・３・２^n・３・２^n-1

　＝（２^n+1−１）・９・２^2n-1

　２^nａｂの自分自身を除く約数の和は

　　（２^n+1−１）・９・２^2n-1−２^n（３・２^n−１）（３・２^n-1−１）

　＝（２^n+1−１）・９・２^2n-1−２^n｛９・２^2n-1−３・２^n−３・２^n-1＋１｝

　＝９・（２^3n−２^3n-1−２^2n-1）＋２^n｛３・２^n＋３・２^n-1−１｝

　＝９・２^2n-1（２・２^n−２^n−１）＋２^n｛６・２^n-1＋３・２^n-1−１｝

　＝９・２^2n-1（２^n−１）＋２^n｛９・２^n-1｝−２^n

　＝２^n｛９・２^2n-1−１｝＝２^nｃ

　２^nｃの自分自身を含む約数の和は

　　（１＋２＋４・・・＋２^n）・９・２^2n-1

　＝（２^n+1−１）９・２^2n-1

　２^nｃの自分自身を除く約数の和は

　　（２^n+1−１）９・２^2n-1−２^n｛９・２^2n-1−１｝

　＝９・２^3n−９・２^2n-1−９・２^3n-1＋２^n

　＝９・２^2n-1（２^n+1−２^n−１）＋２^n

　＝９・２^2n-1（２・２^n−２^n−１）＋２^n

　＝９・２^2n-1（２^n−１）＋２^n

　＝２^n（９・２^2n-1＋１）−９・２^2n-1

　＝２^n（９・２^2n-1＋１）−６・２^2n-1−３・２^2n-1

　＝２^n（９・２^2n-1＋１）−３・２^2n−３・２^2n-1

　＝２^n（９・２^2n-1−３・２^n−３・２^n-1＋１）＝２^nａｂ

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