（その４）ではピタゴラスの正方形パズルを取り上げたが，今回のコラムでは，
［参］Frederickson GN: Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 1997
を参考にして，２次元・３次元図形の切断と並べ替えについて考えてみることにしたい．著作権の関係で図は転載できないので，ページ数を掲げることにした．
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［Ｑ１］正六角形を８個の合同な正三角形に分割せよ．
［Ａ１］同一の円に内接・外接する２つの正六角形を考える．小さい正六角形の面積が３のとき，大きい正六角形の面積は４となる．この問題を解くのに三角関数は不要である．計算する代わりに，以下のような平面分割をしてみよう．
小さい正六角形の頂点と大きい正六角形の辺の中点が一致するように外側の正六角形を回転させる．次に円の中心と内側の正六角形の頂点を結び，内側の正六角形を正三角形で６等分する．さらに正三角形の重心と頂点を結び，内角３０°，３０°，１２０°の二等辺三角形で内側の正六角形を１８等分する．このように線でわけると「麻の葉文様」の２４個の合同な三角形ができる．そのうち１８個が小さな正六角形を形作る．面積比は１８：２４＝３：４であるから，大きい正六角形の面積は４となる．
次に，大きな正六角形を８個の正三角形に分割することを考える．麻の葉３枚で正三角形ができるから，２４ピースを８個の正三角形に分割することができる．ここでは合同な２４ピースに切ったが，切り方を工夫してピースの個数を減らすこともできるだろう．たとえば，大きな正六角形を１２ピース（小さな正六角形を正三角形に６等分＋麻の葉６枚）に切って，残りの麻の葉６枚を正三角形を２個に並び替えると８個の正三角形に作り替えることができる．しかし，これでピース数が最小になっているかどうかはわからない．もっとエレガントな切断方法があるかもしれないのである．
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［Ｑ２］正１２角形を３個の合同な正方形に分割せよ
［Ａ２］１辺の長さが２の正方形に内接する正十二角形の面積は３となる．個の問題も計算する代わりに分割してみると，２×２正方形は１６個の合同な正三角形と３２個の合同な二等辺三角形（内角１５°，１５°，１５０°）に分割される．正十二角形は１２個の正三角形と２４個の二等辺三角形により形作られる．したがって，この正十二角形の面積は３である．すなわち，半径１の円に内接する正十二角形の面積は３であるという円周率πの近似を与えていることになる．
この問題は１８９８年にハンガリーの数学者キルシェクにより十二角形の面積が決定されたもので「キルシェクのタイル」と呼ばれる．正方形の中に各辺を１辺とする正三角形を４個作る．次に正三角形の頂点で正方形の中にあるもの同士を結んで正方形を作る．すると，正方形の各辺の中点４個と４つの正三角形の交点８個で正十二角形ができる．このように，正三角形の頂点を結んで作られた正方形と正十二角形がキルシェクのタイルの基本形となる．
ここでは３６ピースに切断しているが，切り方を工夫してピースの個数を１２個に減らすことができる（ｐ３）．
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［Ｑ３］鼈臑型四面体を三角柱に等積変形せよ
［Ａ３］相似比１：３，体積比１：２７となる２７個の鼈臑を組み換えると三角柱を作ることができる．
ここで，大鼈臑を下から１／３のところで水平に切ると上側は８個の小鼈臑からなる中鼈臑，下側は１９個の小鼈臑からなる三角錐台，さらに８個の小鼈臑からなる中鼈臑を４個＝塹堵＋鼈臑，３個＝陽馬＋鼈臑，１個＝鼈臑に分けることができる．
このことから，鼈臑型の四面体は４つのピースを組み換えると三角柱になることがわかる．すなわち，鼈臑を下から１／３のところで水平に切る，次に新しくできた四面体を垂直に切る，さらに一方を斜めに切って，４つのピースを組み換えると同じ底面ともとの１／３の高さをもつ角柱に変形させることができる．
この分解合同はヒルによって与えられたと成書にはあるが，ヒルの論文をあたってみてもそのような記述は見あたらなかった．実際はヒルから約５０年後，スイスの数学者シドラーによって４ピースのエレガントな切断と組み替えが与えられたようだ（ｐ２３４）．
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［Ｑ４］切頂四面体と菱形十二面体を立方体に等積変形せよ
［Ａ４］中川の六面体（c-squadron）９６ピースで菱形十二面体，２４ピースで切頂八面体を組み立てることができるが，中川六面体の２分割体となる五面体には１対の鏡像体があり，６対（４８対）併せると立方体，２４対で切頂八面体，９６対で菱形１２面体ができる．すなわち，中川六面体の２分割体は立方体・菱形１２面体・切頂八面体に対する三重の空間充填図形である．
この空間充填素子についてまとめておくと
立方体 中川六面体の２分割体×２×６（４８）
菱形１２面体 中川六面体の２分割体×２×９６
切頂八面体 中川六面体の２分割体×２×２４
になる．
２個の切頂八面体を切断して１個の立方体に並び替えるのは難しくはない．切頂八面体の正方形面を対角線で切断して４等分した多面体を８個組み合わせればよい．しかし，１個の切頂八面体から１個の立方体を作るという問題は難しいだろう．これには等分でない１３ピースの解が知られているようだ（ｐ２４１）．
同様に，１個の菱形十二面体を切断して２個の立方体に並び替えるのは難しくはないが，１個の菱形十二面体から１個の立方体を作るという問題は難しい．これも等分ではない１３ピースの解が知られている（ｐ２４２）．
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［Ｑ５］中立方体をいくつかのピースに切り離して並べ替え，小立方体と組み合わせて１つの大立方体を作れ
［Ａ５］ピタゴラスの定理：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2をｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3に変形して体積を使って証明せよという問題であるが，これには１１ピースのパズルが考案されている（ｐ２４０）．
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