δ4＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）

　　δ12＝ａｒｃｃｏｓ（−√５／５）

　　δ20＝ａｒｃｃｏｓ（−√５／３）

　　ｍ1δ4＋ｍ2δ12＋ｍ3δ20＝ｎπ

が（デーン不変量の意味で）線型独立であることは決して自明のことではない．

　たとえば，４次元正多胞体の例でも，

　　δ5＝ａｒｃｃｏｓ（１／４）

　　δ600＝ａｒｃｃｏｓ（−（１＋３√５）／８）

　　３δ5＋３δ600＝４π

となるからである．

　したがって，

　　δ4＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）

　　δ12＝ａｒｃｃｏｓ（−√５／５）

　　δ20＝ａｒｃｃｏｓ（−√５／３）

が線型独立であることを証明しないで，正多面体の元素数は≧４であることを主張するのはキモの部分を欠いた不完全な証明ということになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝