（ａ1^2＋ｂ1^2）（ａ2^2＋ｂ2^2）＝（ａ1ａ2−ｂ1ｂ2）^2＋（ｂ1ａ2＋ａ1ｂ2）^2
は２平方数の和同士の積が２平方数の和で表されることを示しているが，
（ａ1＋ｂ1ｉ）（ａ2＋ｂ2ｉ）＝（ａ1ａ2−ｂ1ｂ2）＋（ｂ1ａ2＋ａ1ｂ2）ｉ
という複素数の積の公式に他ならない．
しかし，３平方数の和が２平方数の和同士の積で表されないことは明白である．たとえば，３＝１^2＋１^2＋１^2，５＝０^2＋１^2＋２^3の積１５は３平方数の和ではない．３＝１^2＋１^2＋１^2，２１＝１^2＋２^2＋４^3の積６３も同様である．８ｎ＋７の形の整数は３平方数の和では表されないのである．
｜ａ｜・｜ｂ｜＝｜ｃ｜
すなわち，平方数の和が積の演算で閉じていることを示す
（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）＝（ｃ1^2＋ｃ2^2＋・・・＋ｃn^2）
の恒等式は，ｎ＝１，２，４，８に対してだけ満たされるという驚くべき結果が１９世紀末，フルヴィッツにより証明されている（１８９８年）．
したがって，ある条件のもとで，数の体系は八元数までですべてであることが知られていて，数の系列は
実数（一元数）→複素数（二元数：ガウス）→四元数（ハミルトン）→八元数（ケイリー）
というようになっているのである．
四元数は１８４３年ハミルトンにより，八元数は１８４５年ケイリーによって発明された．四元数では乗法の交換法則は成り立たない（ａｂ≠ｂａ）のだが，積の可換性を放棄することで，残りすべてのつじつまが合うようになった．また，八元数では乗法の結合法則も破れている（ａ（ｂｃ）≠（ａｂ）ｃ）．
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【１】４元数と球面の回転
球面の任意の回転は複素関数
ｆ（ｚ）＝（ａｚ＋ｂ）／（−ｂ~ｚ＋ａ~）
という形で表される．~は共役を表している．
ここで，ａ＝α＋βｉ，ｂ＝γ＋δｉとおけば，
［ ａ ，ｂ ］＝［ α＋βｉ，γ＋δｉ］
［−ｂ~，ａ~］ ［−γ＋δｉ，α−βｉ］
＝α［１，０］＋β［ｉ， ０］＋γ［ ０，１］＋δ［０，ｉ］
［０，１］ ［０，−ｉ］ ［−１，０］ ［ｉ，０］
＝αＥ＋βＩ＋γＪ＋δＫ
と書くことができる．
行列Ｅ，Ｉ，Ｊ，Ｋはパウリ行列と呼ばれるもので，球面の回転は量子力学でも重要な役割を果たしている．
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【２】８元数と多元数
８元数はケイリー数，またはケイリー・グレーブス数とも呼ばれるが，その集合はＯという記号で表される．ＲからＣ，ＣからＨ，ＨからＯが作られるのだが，それぞれの数体系はその前の数体系の順序対（ａ，ｂ）から
（ａ1，ｂ1）×（ａ2＋ｂ2）＝（ａ1ａ2−ｂ1~ｂ2，ｂ1ａ2＋ａ1ｂ2~）
によって対の積の規則が定められる．
［１］Ｃは乗法が可換かつ結合的である唯一の多元数系である（ワイエルシュトラス，１８８４）．
［２］Ｈは乗法が結合的であるＣ以外の唯一の多元数系である（フロベニウス，１８７８）．
［３］ＯはＣ，Ｈ以外の唯一の多元数系である（フルヴィッツ，１８９８）．
その後，ヒルベルトは代数学から幾何学への貢献となる素晴らしい発見をする（１８９９年）．
［４］パップスの定理が成立する←→多元数系は可換
デザルグの定理が成立する←→多元数系は結合的
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【３】雑感
（ａ1^2＋ｂ1^2）（ａ2^2＋ｂ2^2）
＝（ａ1ａ2−ｂ1ｂ2）^2＋（ｂ1ａ2＋ａ1ｂ2）^2
＝（ａ1ａ2＋ｂ1ｂ2）^2＋（ｂ1ａ2−ａ1ｂ2）^2
は２個の平方数の積が再び２個の平方数の和になることのみならず，その表し方が２通りあることを示しています．
たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2の積６５は２通りの平方数の和８^2＋１^2，４^2＋７^2を与えます．５＝１^2＋２^2，１０＝１^2＋３^2の積５０は７^2＋１^2，５^2＋５^2は２つの平方数の和として２通りにかける最小の整数で，その次が６５です．
冒頭に掲げた３＝１^2＋１^2＋１^2，２１＝１^2＋２^2＋４^3の積６３は８ｎ＋７の形の整数（したがって３平方数の和では表されない）であって，３つの０でない平方数の和同士の積で表される最小の数になっています．
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√２の近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･です．√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．しかし，誤差±１を許すことにすると
２ｑ^2＝ｐ^2±１ （ペル方程式）
なる２つの整数ｐ，ｑを見つけることができます．
２^2＋２^2＝３^2−１
５^2＋５^2＝７^2＋１
１２^2＋１２^2＝１７^2−１
・・・・・・・・・・・・・
このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になって，同様に続いていくという算術的な規則があります．
1/1↓ ↑3/2↓ ↑7/5↓ ↑17/12↓ ↑41/29↓ ・・・
すなわち，ペル方程式：ｐ^2−２ｑ^2＝±１を満たすｐ／ｑがひとつの分数で，Ｐ／Ｑが次の分数だとすると
Ｑ＝ｐ＋ｑ，Ｐ＝ｑ＋Ｑ＝ｐ＋２ｑ
Ｐ^2−２Ｑ^2＝２ｑ^2−ｐ^2＝±１
となって，Ｐ／ＱもまたＰ^2−２Ｑ^2＝±１となる分数を与えることができることになります．１／１から始まって次々に解となる分数を見つけることができるというわけです．
なお，フェルマー・ワイルスの定理より
ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n
に整数解が存在するのは，ｎ＝１と２の場合だけです．したがって，ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3になるような３つの整数ａ，ｂ，ｃを見つけることはできませんが，誤差±１を許すことにすると
６^3＋９^3＝９^3−１
のようにぎりぎりこれに近い式を見つけることができます．
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