【１】デーンの定理の一般化（その目標と証明）

　　［秋山の定理：２００９］正多面体の元素数は≧４である．

［１］目標

　　Ｎ1δ4＋Ｎ2δ12＋Ｎ3δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

　　（ａ1Ｚ4＋ｂ1）（ａ2Ｚ12＋ｂ2）（ａ3Ｚ20＋ｂ3）＝Ｒｅ＋Ｉｍｉ

　　Ｉｍ≠０

［２］証明

　　Ｉｍ＝Ａ＋Ｂ√２＋Ｃ√５＋Ｄ√１０

と展開される．

　　Ａ＝−２（５ａ1ａ2ａ3＋１５ａ2ａ3ｂ1−５ａ1ａ3ｂ2−１５ａ3ｂ1ｂ2）／４５

　　Ｂ＝−２ａ1（−５ａ2ａ3−１５ｂ2ｂ3）／４５

　　Ｃ＝−２（ａ1ａ2ａ3＋３ａ2ａ3ｂ1−３ａ1ａ2ｂ3−９ａ2ｂ1ｂ3）／４５

　　Ｄ＝−２ａ1（４ａ2ａ3＋５ａ3ｂ2＋３ａ2ｂ3）／４５

　（その３）の続きである．

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【２】√２の係数

　√２の係数を求めてみる．√２の係数はＢ，Ｄより派生する．

　　Ｂ＝−２ａ1（−５ａ2ａ3−１５ｂ2ｂ3）／４５

　　Ｄ＝−２ａ1（４ａ2ａ3＋５ａ3ｂ2＋３ａ2ｂ3）／４５

　ここでａ1，ｂ1は整数となるが，ａ2，ｂ2の一方，ａ3，ｂ3の一方はｋ√ ５（ｋは整数）の形となる．

［１］ａ2＝ｃ2√５，ｂ2＝ｄ2，ａ3＝ｃ3√５，ｂ3＝ｄ3の場合，√２の係数は

　　−２ａ1（−２５ｃ2ｃ3−１５ｄ2ｄ3＋１０ｃ3ｄ2＋１５ｃ2ｄ3）／４５

［２］ａ2＝ｃ2√５，ｂ2＝ｄ2，ａ3＝ｃ3，ｂ3＝ｄ3√５の場合

　　−２ａ1（２０ｃ2ｃ3＋１５ｃ2ｄ3）／４５

［３］ａ2＝ｃ2，ｂ2＝ｄ2√５，ａ3＝ｃ3√５，ｂ3＝ｄ3の場合

　　−２ａ1（２０ｃ2ｃ3＋２５ｃ3ｄ2）／４５

［４］ａ2＝ｃ2，ｂ2＝ｄ2√５，ａ3＝ｃ3，ｂ3＝ｃ3√５の場合

　　−２ａ1（−５ｃ2ｃ3−７５ｄ2ｄ3＋２５ｃ3ｄ2＋１５ｃ2ｄ3）／４５

　　ｃ3≠０，ｄ3＝０　　　（ｍｏｄ　３）

　　ｄ2＝０　　　（ｍｏｄ　５）

であるから［１］≠０，［２］≠０，［４］≠０．

　問題となるのは［３］のケースである．

　　ｃ2＝２５ｋ，ｄ2＝−２０ｋ

のとき，√２の係数＝０となるからである．

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【３】√５の係数

　√５の係数はＡ，Ｃより派生する．

　　Ａ＝−２（５ａ1ａ2ａ3＋１５ａ2ａ3ｂ1−５ａ1ａ3ｂ2−１５ａ3ｂ1ｂ2）／４５

　　Ｃ＝−２（ａ1ａ2ａ3＋３ａ2ａ3ｂ1−３ａ1ａ2ｂ3−９ａ2ｂ1ｂ3）／４５

　√２の係数が０のとき，

　　ａ2＝２５ｋ，ｂ2＝−２０ｋ√５，ａ3＝ｃ3√５，ｂ3＝ｄ3

であるが，このときの√５の係数について調べてみると

　　−５０ｋ（５ａ1ｃ3＋１５ｂ1ｃ3−３ａ1ｄ3−９ｂ1ｄ3）／４５

　＝−５０ｋ（ａ1＋３ｂ1）（５ｃ3−３ｄ3）／４５

　　ａ1≠０，ｂ1＝０　　　（ｍｏｄ　３）

　　ｃ3≠０，ｄ3＝０　　　（ｍｏｄ　３）

であるから，

　　（√５の係数）≠０

すなわち，√２の係数と√５の係数は同時に０とはならない．

　　Ｉｍ＝Ａ＋Ｂ√２＋Ｃ√５＋Ｄ√１０≠０

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【４】結論

　整数論（？）の知識を活用して

　　Ｎ1δ4＋Ｎ2δ12＋Ｎ3δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

が証明できた．３次元の正多面体の二面角についてはδ6＝π／２，δ4＋δ8＝πという関係があるが，それ以外の有理数線型関係はないようである．δ4とδ8とは互いに補角なので，

　　Ｎ1δ4＋Ｎ2δ12＋Ｎ3δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

が証明できれば

　　Ｎ1δ8＋Ｎ2δ12＋Ｎ3δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

も証明できる．

　ともあれ，有理係数で線形独立であるから

　　［秋山の定理：２００９］正多面体の元素数は≧４である．

という結論が主張できる．

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