【１】正多面体の元素定理（２００９年）

　　δ4＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）

　　δ8＝ａｒｃｃｏｓ（−１／３）

　　δ12＝ａｒｃｃｏｓ（−√５／５）

　　δ20＝ａｒｃｃｏｓ（−√５／３）

より，

　　ｚ＝ｅｘｐ（ｉδ），ｚ＝ｉ

　　ｚ4＝１／３＋ｉ√８／３

　　ｚ6＝−１／３＋ｉ√８／３

　　ｚ12＝−√５／５＋ｉ√２０／５

　　ｚ20＝−√５／３＋ｉ２／３

　　ｍ1δ4＋ｍ2δ12＋ｍ3δ20＝Ａｒｇ（ｚ4^m1ｚ12^m2ｚ20^m3）≠ｎπ

これはデーンの定理（１９０１年）の一般化に他ならない．

　　ｚ4^m1ｚ12^m2ｚ20^m3＝（ａ1ｚ4＋ｂ1）（ａ2ｚ12＋ｂ2）（ａ3ｚ20＋ｂ3）

＝＜Ｒｅ＞＋ｉ＜Ｉｍ＞

　整理すると

　　＜Ｉｍ＞＝Ａ＋Ｂ√２＋Ｃ√５＋Ｄ√１０≠０

より，正多面体の元素数は≧４であることが示せる．

　複素数はマストアイテムであるが，これくらいの証明であれば誰でも追いかけ，それがきちんとしていることをみることができるだろう．

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