コラム「正多面体は総計１５種類ある」の議論の後，正多角形面のみを用いて，どんな凸多面体を作ることができるかという問いは自然な発想であろう．
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【１】アルキメデスの立体
アルキメデスの立体はプラトン立体の５種類よりも多く，全部で１３種類あります．これらの準正多面体は各頂点での面の配置を与えることによって表示できます．
（３，４，３，４）→立方八面体
（３，６，６） →切頂四面体
正ｎ角形の内角は（ｎ−２）π／ｎなので，（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐk）では
Σ（ｐi−２）π／ｐi＜２π
Σ２／ｐi＞ｋ−２
でなければなりません．
［１］各頂点に３個の面が集まっているとき，
ｋ＝３ですから，
１／ｐ1＋１／ｐ2＋１／ｐ3＞１／２
となります．
ｐ1＝ｐ2＝ｐ3ならばｐi＝３，４，５ですから，それぞれ正四面体，立方体，正二十面体に対応します
ｐ1≠ｐ2ならば，ｐ3は偶数でなければなりませんから，
（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（３，６，６）→切頂四面体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（４，６，６）→切頂八面体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（５，６，６）→切頂二十面体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（３，８，８）→切頂立方体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（３，１０，１０）→切頂十二面体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（４，６，８）→切頂立方八面体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（４，６，１０）→切頂二十十二面体
［２］各頂点に４個の面が集まっているとき，
ｋ＝４ですから，
１／ｐ1＋１／ｐ2＋１／ｐ3＋１／ｐ4＞１
となります．
ｐ1＝３ならば，ｐ2＝ｐ4でなければなりませんから
（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4）＝（３，３，３，３）→正八面体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4）＝（３，４，３，４）→立方八面体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4）＝（３，５，３，５）→二十十二面体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4）＝（３，４，４，４）→菱形立方八面体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4）＝（３，４，５，４）→菱形二十十二面体
［２］各頂点に５個の面が集まっているとき，
ｋ＝５ですから，
１／ｐ1＋１／ｐ2＋１／ｐ3＋１／ｐ4＋１／ｐ5＞３／２
となります．
（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4，ｐ5）＝（３，３，３，３，３）→正二十面体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4，ｐ5）＝（３，３，３，３，４）→ねじれ立方体
（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4，ｐ5）＝（３，３，３，３，５）→ねじれ十二面体
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【２】アルキメデスの平面充填形
（ｐ，ｑ）＝（３，６）は正三角形格子，（４，４）は正方格子，（６，３）は正六角形格子のことです．５種類あるプラトンの立体に，平面充填形（３，６），（４，４），（６，３）を加えておくと何かにつけて都合がよいのですが，これらは，
１／ｐ＋１／ｑ＝１／２
を満たし，平面充填形は面数が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体（退化した多面体）と解釈することができるからです．一種の正２面体群と考えることもできましょう．
１種類の正多角形を使ったタイル張り（プラトンの平面充填形）がプラトン立体の５種類よりも少ないことは容易にわかりますが，全部で３種類あります．それでは２種類以上の正多角形を使ったらどうでしょうか？ それを全部求めてみよといわれたらちょっと大変です．実は，アルキメデスの平面充填形は全部で８種あります．
まず，どんな多角形を組み合わせたら，頂点のまわりを完全に埋めることができるかを考えてみましょう．頂点のまわりには，正三角形でも６個より多く並べることはできません．しかもこの場合は全部が正三角形に限ります．次に，５個集まる場合は少なくとも正三角形が３個なければなりませんから，結局，５個の組は正三角形３個と正方形２個か，正三角形４個と正六角形１個の場合しかありません．
次に，４個の場合，正多角形をそれぞれｐ1 ，ｐ2 ，ｐ3 ，ｐ4 角形（ｐi ≧３）とすると，必要条件は
１／ｐ1 ＋１／ｐ2 ＋１／ｐ3 ＋１／ｐ4 ＝１
３個の場合は同様に
１／ｐ1 ＋１／ｐ2 ＋１／ｐ3 ＝１／２
と書けます．これを満たす３以上の正の整数の組を求めればよいことになります．実際に解いてみると必要条件を満たす組は１７組できますが，十分条件を満たさない，すなわち，１点のまわりだけは完全に埋められても平面のタイル張りにならないものが出てきます．結局，求めるタイル張りはただ１種類の正多角形を使う場合の３通りを含めて，１１通りあることになります．
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【３】準正多面体は総計２４種類ある
菱形立方八面体は八角柱の上下に八角錐台の帽子をつけたものと考えることができる．もし，上の帽子を４５°回転すると，擬菱形立方八面体（３，４，３，４）を得ることができる．この立体は１９３０年にやっと発見された．また，ねじれ立方体ねじれ十二面体には左手系と右手系の鏡像体がある．
アルキメデス立体１３種類に，平面充填形８種類とこれらの準多面体３種類を含めると，準正多面体は全部で２４種類になる．
ａ）アルキメデス立体 １３＋３種類
ｂ）平面充填形 ８種類
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