ｋ→∞のとき，

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Πｃｏｓｘ／２^k

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Π（１＋２ｃｏｓｘ／３^k）／３

が成り立つが，後者に関しては，

　　ｓｉｎｘ／ｘ

＝Π（１－４／３ｓｉｎ^2ｘ／３^k）

＝Π（４／３ｃｏｓ^2ｘ／３^k－１／３）

のままでも成り立つし，その方が因数分解の必要がなく，一般化する際に便利である．

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　　ｓｉｎｘ＝３ｓｉｎｘ／３－４ｓｉｎ^3ｘ／３

　　　　　　＝３ｓｉｎｘ／３（１－４／３ｓｉｎ^2ｘ／３）

　　　　　　＝３ｓｉｎｘ／３（４／３ｃｏｓ^2ｘ／３－１／３）

　したがって，

ｓｉｎｘ／ｘ＝Π（４ｃｏｓ^2ｘ／４^k－１）／３

　　ｓｉｎｘ＝８ｓｉｎｘ／４ｃｏｓ^3ｘ／４－４ｓｉｎｘ／４ｃｏｓｘ／４

＝４ｓｉｎｘ／４ｃｏｓｘ／４｛２ｃｏｓ^2ｘ／４－１｝

　したがって，

ｓｉｎｘ／ｘ＝Πｃｏｓｘ／４^k（２ｃｏｓ^2ｘ／４^k－１）

　　ｓｉｎｘ＝１６ｓｉｎ^5ｘ／５－２０ｓｉｎ^3ｘ／５＋５ｓｉｎｘ／５

＝ｓｉｎｘ／５（１６ｓｉｎ^4ｘ／５－２０ｓｉｎ^2ｘ／５＋５）

＝ｓｉｎｘ／５（１６ｃｏｓ^4ｘ／５－１２ｃｏｓ^2ｘ／５＋１）

＝５ｓｉｎｘ／５（１６ｃｏｓ^4ｘ／５－１２ｃｏｓ^2ｘ／５＋１）／５

　したがって，

ｓｉｎｘ／ｘ＝Π（１６ｃｏｓ^4ｘ／５^k－１２ｃｏｓ^2ｘ／５^k＋１）／５

　　ｓｉｎｘ＝３２ｓｉｎｘ／６ｃｏｓ^5ｘ／６－３２ｓｉｎｘ／６ｃｏｓ^3ｘ／６＋６ｓｉｎｘ／６ｃｏｓｘ／６

＝ｓｉｎｘ／６ｃｏｓｘ／６（３２ｃｏｓ^4ｘ／６－３２ｃｏｓ^2ｘ／６＋６）

＝６ｓｉｎｘ／６ｃｏｓｘ／６（３２ｃｏｓ^4ｘ／６－３２ｃｏｓ^2ｘ／６＋６）／６

　したがって，

ｓｉｎｘ／ｘ＝Πｃｏｓｘ／６^k（３２ｃｏｓ^4ｘ／６^k－３２ｃｏｓ^2ｘ／６^k＋６）／６

　　ｓｉｎｘ＝－６４ｓｉｎ^7ｘ／７＋１１２ｓｉｎ^5ｘ／７－５６ｓｉｎ^3ｘ／７＋７ｓｉｎｘ／７

＝－ｓｉｎｘ／７（６４ｓｉｎ^6ｘ／７－１１２ｓｉｎ^4ｘ／７＋５６ｓｉｎ^2ｘ／７－７）

＝ｓｉｎｘ／７（６４ｃｏｓ^6ｘ／７－８０ｃｏｓ^4ｘ／７＋２４ｃｏｓ^2ｘ／７－１）

＝７ｓｉｎｘ／７（６４ｃｏｓ^6ｘ／７－８０ｃｏｓ^4ｘ／７＋２４ｃｏｓ^2ｘ／７－１）／７

　したがって，

ｓｉｎｘ／ｘ＝Π（６４ｃｏｓ^6ｘ／７^k－８０ｃｏｓ^4ｘ／７^k＋２４ｃｏｓ^2ｘ／７^k－１）／７

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