有限フーリエ級数

　　Ｆ（ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（ｉ（２π／ｍ）ｋ）

を幾何学的に解釈すると，原点から正ｍ角形の頂点に向かって一様に放射状に出る長さ１のベクトルの和であるから，値は０になる．

　今回のコラムでは，ガウスが正ｎ角形の研究中に出会った関数

　　Ｇ（ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（−ｉ（２π／ｍ）ｋ^2）

について考える．ｋが２乗されていることで，全方向の一様性がなくなってしまい，図形的にみることが難しくなる．

　この関数は長い間ガウスの心を占めていた数学の問題で，現在，ガウス和と呼ばれている．偉大なガウスでさえもＧ（ｍ）の値を得るのに数年を要したといわれている．

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【１】ガウス和

　ガウスはこの問題を数論的な手法により１８０５年に解決したのであるが，その３０年後の１８３５年，ディリクレがフーリエ級数を用いて簡潔な証明を生み出した．ガウス和は回折理論で有名なフレネル積分

　　∫(0,∞)sin(ax^2)dx=∫(0,∞)cos(ax^2)dx=1/2√(π/2a)

に帰着され，最終的な結論だけを述べると

　　ｍ＝０（ｍｏｄ４）　→　Ｇ（ｍ）＝（１−ｉ）√ｍ

　　ｍ＝１（ｍｏｄ４）　→　Ｇ（ｍ）＝√ｍ

　　ｍ＝２（ｍｏｄ４）　→　Ｇ（ｍ）＝０

　　ｍ＝３（ｍｏｄ４）　→　Ｇ（ｍ）＝−ｉ√ｍ

　指数の符号をプラスにした

　　Ｈ（ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（ｉ（２π／ｍ）ｋ^2）

はＧ（ｍ）と複素共役だから，Ｇ（ｍ）がわかればＨ（ｍ）もわかる．

　　ｍ＝０（ｍｏｄ４）　→　Ｈ（ｍ）＝（１＋ｉ）√ｍ

　　ｍ＝１（ｍｏｄ４）　→　Ｈ（ｍ）＝√ｍ

　　ｍ＝２（ｍｏｄ４）　→　Ｈ（ｍ）＝０

　　ｍ＝３（ｍｏｄ４）　→　Ｈ（ｍ）＝ｉ√ｍ

　奇数のｍに対して，

　　｜Ｈ（ｍ）｜^2＝ｍ

である．また，ｍ＝ｐｑで置き換えると，

　　Ｈ（ｐｑ）＝（−１）^(p-1)(q-1)/4Ｈ（ｐ）Ｈ（ｑ）

　ガウス和は有限テータ関数として解釈することができるが，ヤコビのテータ関数は解析数論における数多くの深遠な問題と密接に結びついている．また，ガウス和は物理や通信における散乱，たとえば，コンサート・ホールの音響を弱めないで拡散させることなどに応用されているのである．

　ガウス和の指数を２乗和ｋ^2に制限する理由はなく，ｋ^nすなわちガウスの３乗和，４乗和，５乗和，６乗和，・・・と一般化することもできる．

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【２】不完全ガウス和

　　Ｈ（ｍ，ｋ）＝Σ(k=0~k)ｅｘｐ（ｉ（２π／ｍ）ｋ^2）

と定義する．ｍを固定して，ｋ＝０，１，・・・，ｍ−１と動かすときれいな絵が得られる．

　ｍ＝２（ｍｏｄ４）のとき，完全和は０になるから，不完全和Ｈ（ｍ，ｋ）は初めに２個の螺線を出たリ入ったりした後，原点に戻る．ｍ→∞のとき，この螺線はコルニュの螺線に近づく．ｍ＝３（ｍｏｄ４）の場合，不完全和Ｈ（ｍ，ｋ）は再び２個の螺線を出たリ入ったりするが，原点には戻らず，√ｍで立ち往生することになる．

　この様子は

　　［参］ナーイン「オイラー博士の素敵な数式」日本評論社

に掲載されている調和散歩の問題

（Ｑ）原点から実軸上を正の方向に１きたところで，反時計回りにθ回転し１／２進む．さらに再度θ回転し１／３進む．次はθ回転し１／４進む．これを繰り返す

を想起させる．

（Ａ）最終到達点は

　　ｐ（θ）＝１＋１／２ｅｘｐ（ｉθ）＋１／３ｅｘｐ（ｉ２θ）＋１／４ｅｘｐ（ｉ３θ）＋・・・

　　　　　　＝Σ(k=1,∞)ｃｏｓ（（ｋ−１）θ）／ｋ＋ｉΣ(k=1,∞)ｓｉｎ（（ｋ−１）θ）／ｋ

　θ＝π／２のとき

　　ｐ（π／２）＝（１−１／３＋１／５−１／７＋・・・）＋ｉ（１／２−１／４＋１／６−１／８＋・・・）＝π／４＋ｉ１／２ｌｏｇ２

このとき，終点と原点との距離は

　　｜ｐ（π／２）｜＝｛（π／４）^2＋（１／２ｌｏｇ２）^2｝^1/2＝０．８５８５

　θ＝πのとき

　　ｐ（π）＝１−１／２＋１／３＋１／４−・・・＝ｌｏｇ２

　　｜ｐ（π）｜＝ｌｏｇ２＝０．６９３

最終到達点が原点から最も近いのは，θ＝πのときであることが示される．

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