【１】反転公式

　目的の点（点あるいは辺の中点）に隣接する胞の数も，２項係数を活用して求めることができると思われる．

［１］ｎ次元正単体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｋ）は，双対を考えて，ｎ−ｋ次元胞内のｎ−ｍ次元胞と同数，

　　（ｎ−ｋ，ｎ−ｍ）

です．

　なお，ｍ＜ｋのときは，ｋ次元正単体の含むｍ次元胞の数は

　　（ｋ＋１，ｍ＋１）

個になります．

　ｎが小さい例で検してみると

［ａ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝１→（３，２）＝３　　　（ＯＫ）

［ｂ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝２→（３，１）＝３　　　（ＯＫ）

［ｃ］ｎ＝３，ｋ＝１，ｍ＝２→（２，１）＝２　　　（ＯＫ）

［ｄ］ｋ＝ｎ−２，ｍ＝ｎ−１→（２，１）＝２　　　（ＯＫ）

［２］ｎ次元正軸体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｋ）は，２項係数を使って，

　　２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｍ−ｋ）

です．

　ｎが小さい例で検してみると

［ａ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝１→２（２，１）＝４　　　（ＯＫ）

［ｂ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝２→４（２，２）＝４　　　（ＯＫ）

［ｃ］ｎ＝３，ｋ＝１，ｍ＝２→２（１，１）＝２　　　（ＯＫ）

［ｄ］ｋ＝ｎ−２，ｍ＝ｎ−１→２（１，１）＝２　　　（ＯＫ）

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　また，γn（超立方体）において，ｋ次元胞を含むｍ次元胞（ｎ＞ｍ＞ｋ≧０）の個数は，結果的にはαn（正単体）のときと同一になる．すなわち，

　　（ｎ−ｋ，ｎ−ｍ）

　このことは

［１］γnがβn（正軸体）の双対（相反）であり，そのｋ次元胞がβnのｎ−ｋ−１次元胞の数と一致すること

［２］βnの（ｎ−１）次元以下の胞が正単体であること

から理解されるが，４次元正１２０胞体においてもこのことが成り立つのである．

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［まとめ］正単体と立方体の頂点図形は，１次元低い正単体の面数，正軸体では１次元低い正軸体の面数と等しくなった．

　たとえば，｛３，３，３｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元，３次元面数はそれぞれ４，６，４である．これは

　　ｆ1＝４／２・ｆ0

　　ｆ2＝６／３・ｆ0

　　ｆ3＝４／４・ｆ0

として求めることができる．

　散在型では正１２面体，正１２０細胞体では１次元低い対応物，正２４胞体１次元低い立方体と等しくなった．

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