【１】正五角形の作図可能性とトレミーの定理

　辺の長さが１の正五角形の長さをｚとしトレミーの定理を適用すると

　　１＋ｚ＝ｚ^2　→　ｚ＝（√５＋１）／２

　あるいは，正五角形の辺の長さをｘ，対角線の長さをｙとすると，

　　ｘ^2ｙ^2＝５，ｘ^2＋ｙ^2＝５

より，２次方程式（ｚ^2−５ｚ＋５＝０）の範囲内で（ｘ，ｙ）が求まる．

　　ｘ^2＝（５−√５）／２，ｙ^2＝（５＋√５）／２

　もしこれにトレミーの定理

　　「円に内接する四角形の相対する辺の長さの積の和＝対角線の積

　　　　　ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ」

を適用すれば，余分な式

　　ｘ^2＋ｘｙ＝ｙ^2

がでてしまうが，

　　ｘ^2＋ｙ^2＝５

　　ｘ^2−ｙ^2＝−√５

となり，連立１次方程式の範囲内で（ｘ，ｙ）が求まることになる．

　　ｘ^2＝（５−√５）／２，ｙ^2＝（５＋√５）／２

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【２】円に内接する正５角形の作図法（１）

　円Ｏに内接する正５角形の作図の手順は

［１］直径ＡＢを引く

［２］ＡＢを垂直二等分線を引き，円Ｏとの交点をＣとする

［３］ＡＢを垂直二等分線を引き，ＡＯとの交点をＤとする

［４］Ｄを中心とする半径ＤＣの円弧を描き，ＡＢとの交点をＥとする

［５］Ｃを中心とする半径ＣＥの円弧を描き，円Ｏとの交点をＦとする

［６］ＣＦが正５角形の１辺の長さとなる

であるが，

　　ＤＣ＝√５／２

　　ＣＥ＝｛（５−√５）／２｝^1/2＝ｘ（１辺の長さ）

になっているというわけである．

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【３】円に内接する正５角形の作図法（２）

［１］直交する縦軸と横軸の交点Ｏを中心とする半径１も円を描く

［２］点Ａ（０，１），点Ｚ（０，−１），点Ｍ（１／２，０），点Ｍ’（−１／２，０）とする

［３］点Ｍ，Ｍ’を中とする半径１／２の円を描く

［４］点Ｚを中心として，点Ｚと点Ｍを結んだ線と半径１／２の円の２つの交点を通る大小の弧を描く

［５］大小の弧と半径１の円との４交点Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅと点Ａが正五角形の頂点となる（江戸時代後期の和算家・平野喜房による作図法）

であるが，

　　ＭＺ＝√５／２

　　ＤＺ＝（√５−１）／２，ＥＺ＝（√５＋１）

　　ＡＤ＝ｙ，ＡＥ＝ｘ

になっているというわけである．

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（証）ＺＭ＝√５／２，ＺＥ＝（√５＋１）／２

ｃｏｓ∠ＡＺＥ＝（√５＋１）／４→∠ＡＺＥ＝３６°，∠ＡＯＥ＝７２°

ＺＤ＝（√５−１）／２

ｓｉｎ∠ＺＡＤ＝（√５−１）／４→∠ＺＡＤ＝１８°，∠ＤＯＥ＝∠ＣＯＥ＝７２°

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