３辺の長さα，β，γ三角形（高さｈ）のなかに，長軸が底辺に平行な楕円（長軸２ａ，短軸２ｂ）が内接している．

　このとき，

　　ｂ^2（ｈ−２ｂ）（β^2−γ^2）^2＝α^2（ｈ−ｂ）^2（α^2ｈ−２α^2ｂ−４ａ^2ｈ）

が成り立つ．

　　［参］土倉保「算法助術」朝倉書店

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　内接円のとき，

　　ａ＝ｂ＝ｒ

　　Ｓ＝αｈ／２＝ｒ（α＋β＋γ）／２

　　ｈ＝ｒ（α＋β＋γ）／α

　　ｒ^2（ｈ−２ｒ）（β^2−γ^2）^2＝α^2（ｈ−ｒ）^2（α^2ｈ−２α^2ｒ−４ｒ^2ｈ）

左辺からｈを消去すると

ｒ^3（（β＋γ）／α−１）（β^2−γ^2）^2

＝ｒ^3（（β＋γ）／α−１）（β＋γ）^2（β−γ）^2

右辺からｈを消去すると

ｒ^3（β＋γ）^2・｛α（α＋β＋γ）−２α^2−４ｒ（α＋β＋γ）／α）｝

＝｛α（β＋γ）−α^2−４ｒ（α＋β＋γ）／α）｝

　したがって，

（（β＋γ）／α−１）（β−γ）^2＝｛α（β＋γ）−α^2−４ｒ（α＋β＋γ）／α）｝

（（β＋γ）−α）（β−γ）^2＝｛α^2（β＋γ）−α^3−４ｒ^2（α＋β＋γ）｝

４ｒ^2（α＋β＋γ）＝｛α^2（β＋γ）−α^3｝−（（β＋γ）−α）（β−γ）^2｝

＝（（β＋γ）−α）｛α^2−（β−γ）^2｝

＝（−α＋β＋γ）（α−β＋γ）（α＋β−γ）

　ｒ^2＝（−α＋β＋γ）（α−β＋γ）（α＋β−γ）／４（α＋β＋γ）

　ここで，α＋β＋γ＝２ｓとおくと，

　　ｒ^2＝（ｓ−α）（ｓ−β）（ｓ−γ）／ｓ

　　Ｓ＝ｒｓ

　　Ｓ＝｛ｓ（ｓ−α）（ｓ−β）（ｓ−γ）｝^1/2

となって，ヘロンの公式が得られる．

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